從平拋運(yùn)動(dòng)到第一宇宙速度*

蔣悠然 王 佳 蔣 敏

(西南大學(xué)附屬中學(xué)校 重慶 400700)

人類自古以來(lái)對(duì)太空無(wú)限神往,有關(guān)太空的藝術(shù)創(chuàng)作更是層出不窮,近年來(lái),宇宙航行類科幻電影更是引發(fā)全民熱議.

人類要探索太空,需要發(fā)射航天器.發(fā)射航天器的最小速度為第一宇宙速度,高中物理教材上對(duì)第一宇宙速度的大小是這樣推導(dǎo)的:

設(shè)地球的質(zhì)量為M,航天器的質(zhì)量為m,航天器在貼近地球表面的圓軌道上運(yùn)行,地球?qū)教炱鞯娜f(wàn)有引力提供向心力,有

得

半徑r近似等于地球半徑R,所以

取G=6.67×10-11N·m2/kg2,M=6×1024kg,R=6.4×106m,計(jì)算得v≈7.9 km/s.

在教材中,引入第一宇宙速度時(shí)還有這樣一段話:如圖1所示,在1687 年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中,牛頓設(shè)想,把物體從高山上水平拋出,速度一次比一次大,落地點(diǎn)也就一次比一次遠(yuǎn);拋出速度足夠大時(shí),物體就不會(huì)落回地面,成為人造地球衛(wèi)星[1].顯然,牛頓是從拋體運(yùn)動(dòng)出發(fā)想到衛(wèi)星發(fā)射的.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,可否用拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律推導(dǎo)第一宇宙速度?

圖1 物體從高山上水平拋出

先將教材中的插圖模型化,如圖2所示,在高為h的山頂以水平速度v0擲出石子,忽略空氣阻力,若分析非常短的一小段時(shí)間,重力的大小、方向幾乎不變,石子的運(yùn)動(dòng)可視為平拋運(yùn)動(dòng).經(jīng)過(guò)非常短的一小段時(shí)間t,石子由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn),石子的水平位移為x,豎直位移為y.

圖2 物體平拋運(yùn)動(dòng)分析

由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律,有

x=v0t

由于山的高度遠(yuǎn)小于地球半徑,所以上式的g就是地面的重力加速度.要石子離地面的高度不變,此時(shí)Q點(diǎn)到地面的距離應(yīng)該為山的高度h.

由勾股定理有

(R+h)2=x2+(R+h-y)2

代入x、y的表達(dá)式,有

解得

由于t趨近于零,有

取g=9.8 m/s2,R=6.4×106m,計(jì)算得v0≈7.9 km/s.可見,用平拋的思路推導(dǎo)出來(lái)的第一宇宙速度大小與教材上是一樣的.

通過(guò)以上思考分析過(guò)程,有很多收獲:第一,學(xué)習(xí)要多看教材,往往教材上的一段話就是一個(gè)引子,可以幫我們打開一個(gè)新的思路.第二,物理真是很奇妙,運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律加上一點(diǎn)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以推導(dǎo)出第一宇宙速度.