物理圖像的漸變與突變
——以“單擺模型”為例

張 銳 周 伊

(北京市十一學校 北京 100039)

1 原題呈現

人教版教材高中物理選擇性必修第一冊《機械振動》“復習與提高”B組中有這樣一個問題(60頁第5題)[1]:

如圖1(a)所示,O點為單擺的固定懸點,將力傳感器接在擺球和O點之間.現將擺球拉到A點,釋放擺球,擺球將在豎直平面內的A、C之間來回擺動,其中B點為運動中的最低位置.圖1(b)表示細線對擺球的拉力大小F隨時間t的變化曲線,圖中t=0為擺球從A點開始運動的時刻,重力加速度g取10 m/s2.求:

圖1 原題題圖

(1)單擺的振動周期和擺長;

(2)擺球的質量;

(3)擺球運動過程中的最大速度.

通過分析圖像,將圖像中特殊值與振動過程中的狀態一一對應,就可以求解這個問題.當t=0、0.4π、0.8π、…時,此時細線對擺球的拉力最小,說明此時擺球處于振動過程中的最高點,即可能是A、C兩點處.根據簡諧運動的對稱性,當t=0.2π、0.6π、…時,此時細線對擺球的拉力最大,擺球處于振動過程的最低點,即B處.

要分析擺球的質量m和運動過程中的最大速度vm,我們需要具體研究擺球在最高點和最低點的受力特點.根據機械能守恒定律,擺球運動至最低點時速度最大.假設擺球振動過程中的最大擺角為θ0,則在最高點,即A或C處時,沿繩方向受力平衡,可知F1=mgcosθ0,其中F1=0.498 N.

由最高點運動至最低點過程中,根據動能定理

將上述方程聯立,可以解得擺球質量m=0.05 kg,運動過程中最大擺角滿足cosθ0=0.996,最大速度

由此可知,圖像問題的處理,學生需要具備基本的力與運動的物理觀念、讀圖與分析圖像的能力、模型建構的能力和運用牛頓運動定律分析動力學問題的能力,這都是教學過程中重點落實的相關內容.但仔細觀察上述圖片,學生可能會產生一個疑問:擺球在振動過程中,受到外界的約束條件并沒有發生變化,描述運動的物理量,如位移、速度、加速度均發生順延性變化,即隨時間的變化規律均為連續性函數,為什么擺球提供的拉力F隨時間t的變化函數會呈現出不連續、不可導的突變點呢?

這與學生在高中階段接觸的經典力學相關的觀念是不相符的,當約束條件不變或者連續變化時,物理量的變化也應是漸變的[2].以運動學中常見的上拋運動的圖像問題為例,物體以一定的初速度向上拋出,以豎直向上為正方向.若不考慮空氣阻力的影響,則物體速度v隨時間t的變化曲線如圖2(a)所示,為連續曲線;若物體運動過程中受到大小不變的空氣阻力的影響,則物體速度v隨時間t的變化曲線如圖2((b)所示,由于上升過程和下降過程的阻力在最高點處發生突變(方向突變),圖像曲線出現不連續的突變點;再進一步,若考慮物體所受空氣阻力大小與物體速率成正比,則物體速度v隨時間t的變化曲線如圖2(c)所示,由于阻力的變化是連續的,因此v-t關系曲線仍為連續曲線.

圖2 豎直上拋運動v-t圖像

根據上述分析可知,在經典力學階段,在約束條件不變或者連續變化的情況下,狀態參量的變化應為連續性的.基于這一想法,我們對人教版教材中的上述問題進一步進行分析,方法與上述討論完全相同.

假設細線偏離豎直方向的夾角為θ,根據題設條件可知,單擺振動的周期T=0.8π s,則角度θ隨時間t的變化關系為θ=θ0cos(2.5t),其中,θ0滿足

cosθ0=0.996

在某角度θ時,沿繩方向擺球受力分析

根據動能定理有

聯立上述兩式可得

F=3mgcosθ-2mgcosθ0

將數據m=0.05 kg、cosθ0=0.996、g=10 m/s2代入可得

F=1.5cosθ-0.996

即拉力F隨時間t變化的關系為

F=1.5cos[θ0cos(2.5t)]-0.996

為連續函數.通過數學軟件可以畫出F-t圖像如圖3所示,與圖1(b)所畫圖像有很大的差別.

圖3 F-t圖像

綜合上述可知,對于多過程的物理問題,由于約束條件差異,會使得狀態參量的變化規律有所不同,但在經典力學的框架下,若約束條件不變或者連續變化,各物理量也應為連續變化.在物理過程的圖像中,不連續或不可導的突變點一定對應著物理過程中約束條件的突變.因此,學生在處理圖像相關問題時,應慎重對待圖像中的不連續或不可導的突變點.圖像的信息,不僅僅包括變化趨勢、斜率、截距等,更包含著與運動過程的對應關系、約束條件的影響,而我們在教學過程中也應有所關注.