文化視角、素養立意下的數學課堂建構探究
——以《用頻率估計概率》教學為例

劉春江|浙江省杭州市文海中學

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“《課程標準》”）指出，教材內容設計要反映數學在自然與社會中的應用，展現數學發展史中偉大的數學家，特別是中國古代與近現代著名數學家，以及他們的數學成果在人類文明發展中的作用，以增強學生的愛國情懷和民族自豪感.因此，一線教師可嘗試打造文化視角、素養立意的數學課堂，即從數學文化的角度來審視教學內容，設計指向核心素養的教學目標，并以此引領課堂教學.這種具有文化屬性的數學課堂能展示數學的美麗與價值，喚起學生的好奇心與求知欲，使學生在數學文化的浸潤中發展核心素養.下面，筆者以浙教版義務教育教科書《數學》九年級上冊第2章第3節《用頻率估計概率》的教學為例，談談如何建構文化視角、素養立意的數學課堂.

一、以文化視角審視教學內容

“用頻率估計概率”屬于“統計與概率”領域，體現了偶然性和必然性的統一，在概率統計的應用歷史上有著豐富的經典實踐案例.因此，從數學文化視角上審視該節教學內容及流程十分必要.

首先，基于學情.此時，學生已經學習過隨機事件與概率，初步了解了概率的意義，會用列舉法求一些簡單等可能事件的概率.基于此，筆者對相關數學文化知識進行梳理，先介紹布豐等數學家拋擲硬幣的試驗，再展示雅各布·伯努利以定理的形式給予嚴格證明的史實，在史料的有序呈現中向學生滲透數學家求真務實的嚴謹精神，在深厚的數學文化氛圍中引出這節課的內容，即對概率作進一步的研究.

其次，指向內容.針對“隨機事件發生的頻數和頻率均可以通過統計的方法獲得”這一內容，筆者安排古典概型中經典的摸球試驗，引導學生經歷試驗設計、實施的全過程，體驗數學家的研究方法，感受數學研究的魅力，在文化的熏染中明確：概率是客觀存在的確定數，而頻率在試驗前是不能確定的，具有隨機性.

最后，突破難點.針對“隨著獨立重復試驗次數的不斷增加，隨機事件發生的頻率會呈現出一定的穩定性”這一難點，筆者引導學生體驗“三門問題”“巧用頻率妙求π”“威廉·向克思的憾事”等經典數學史例，使學生在多樣的數學文化中，具身體會可利用大量重復試驗的方法獲得頻率，再用該頻率估計隨機事件發生的概率，歸納出此方法不受限于各種結果發生是否等可能及隨機試驗結果數等因素，其適用范圍比用列舉法計算概率更廣泛.

從文化視角對教學內容進行審視并設計教學，不僅有利于核心知識的落實，更有利于學生浸潤數學文化、感悟數學力量、激發數學學習興趣.

二、素養立意預設教學目標

依據《課程標準》對此部分內容的要求，筆者結合學情、當前科技發展水平等因素，以發展學生核心素養為立意，設定這節課的教學目標：（1）了解隨機事件在每次試驗中是否發生的不確定性，隨著試驗次數的大量增加，事件發生的頻率會逐漸趨于穩定；（2）通過摸球與擲硬幣等隨機試驗，了解頻率與概率的聯系與區別，知道可以通過大量重復試驗的頻率去估計概率，經歷設計并實施試驗，通過試驗數據探索內在規律，提升合作交流能力；（3）能夠應用“用頻率估計概率”的知識解決相關問題，并能從對數學史上經典問題的分析與再創造中感受數學文化的價值，提高數學學習興趣.

三、文化視角、素養立意下的課堂建構策略

（一）以課程標準為依據，發掘文化素材，讓素養的形成有根基

課堂教學只有做到以《課程標準》為據，以教材為基，以學生為本，才能有效地培育學生的核心素養.《課程標準》對這節內容的要求為“知道通過大量地重復試驗，可以用頻率估計概率”.一方面，估計的過程既涉及隨機性，又體現隨機性表現出來的規律性，這就使學生理解起來比較困難，如對其進行常規教學的設計，很容易造成教師呆板呈現、學生被動識記的局面，難以達成《課程標準》對這節內容的教學要求.另一方面，我們知道數學既是一門科學，也是一種文化，數學知識具有豐富而深刻的文化內涵，數學教育的目的不僅要讓學生的“四基”得到發展，還應讓學生接受數學文化的熏陶，感受數學的無窮魅力，形成理性精神.因此，文化視角素養立意下的數學課堂教學，在教學內容的選取和組織上要努力跟經典史料和社會生活等主動結合.選取的文化素材需要具備如下特點：既包含數學課程的具體內容，又展示數學的價值；既具有情境性、開放性、趣味性等特征，又有利于突出教學重點、突破學習難點.

在這個環節中，筆者將生活背景與數學史料有機結合，從拋擲硬幣試驗切入，引導學生親身體驗古典概型——人類對概率和統計規律最早的建模嘗試.學生從樸素的數學原則下古人對概率的認識起點出發，通過試驗設計、試驗操作、視頻觀看、交流討論等形式，在數學文化的陶冶中逐步激發起探究數學的興趣，對學習內容也逐漸產生了親切感、價值感.這進一步推動了學生對頻率與概率關系的認識，由此也就發展了數據分析觀念.

問題1：將一枚質地均勻的硬幣連續拋擲兩次，計算“兩次都正面向上”的概率.

［師生活動］教師介紹古代數學家的拋擲硬幣試驗史實.學生用多種方法解答，教師巡視并展示學生有代表性的解法.師生一起將知識要點歸納為：概率可算，算之有法，初中階段，一圖一表.

設計意圖：通過回顧舊知再次加深學生對概率確定性的理解，用拋擲硬幣問題回顧古典概型中“能夠通過事前計算獲得概率”的知識，既鞏固了基礎知識，又檢驗了基本技能，為這節課學習“事件的概率不能簡單通過計算獲得”埋下伏筆.而對知識進行四字對仗式的歸納，能使學生對知識的記憶與理解更加容易、更加深刻.

（二）以問題為導向，設計文化體驗，讓素養的發展根植實踐

葉瀾教授說：“有文化意義的課堂，一定是充滿生命激情、生命動感的課堂.”［1］在設計問題引導學生活動時，既考慮課時核心內容，又恰當地融入數學文化，可使學生開闊視野、激發學習興趣、增進數學理解、提升核心素養.問題設計需要做到如下三點：指向明確，層層遞進；大氣開放，關注思維；體現趣味，著力應用.在課堂教學過程中，教師要時刻關注學生的表達與反饋，使學生保持思維的活躍度，有效地激發學生主動地積極思考.

在這個環節中，筆者先設計指向概率意義的“拋擲硬幣100 次，正面向上的頻率”問題，引導學生親身體驗數學史上的拋擲硬幣試驗，促使學生增強對頻率隨機性的認識，再設置關于隨機性的趨勢問題，引導學生通過對各組數據的匯總分析，在初步感知頻率的隨機性的同時，能夠主動意識到頻率與概率之間可能存在某種必然關系.以一系列具有文化體驗功能的問題為引領，可使學生在深度感受數學家精神的同時，積極開展活動，并以數學家為榜樣，努力提升自己的數學思維.

問題2：拋擲一枚質地均勻的硬幣，“正面向上”的概率是0.5，這是否意味著拋擲硬幣100 次，“正面向上”的頻數一定是50，頻率一定是0.5？請思考并對照試驗數據回答.

［師生活動］教師指導學生對試驗任務的數據進行觀察、思考、交流、整理分析，并得出結論.教師第一次指出頻率具有隨機性.

設計意圖：通過對少量試驗獲得的數據進行收集與整理、分析與描述，讓學生初步體會頻率的隨機性.

問題3：隨著重復試驗次數的增加，“正面向上”的頻率變化趨勢怎樣？

［師生活動］教師引導學生按照試驗要求獨立試驗、記錄數據后小組合作，初步發現頻率的穩定性.

（三）以技術為輔助，促進文化體驗，讓抽象的思考外化

數學學習需要學生真實的思維參與.學生在參與中體驗，在體驗中感悟，進而在感悟中積累經驗、提高認識.因此，教師要設置文化體驗的機會，引導學生在文化體驗中實現積極的心理參與和思維參與，從而充分地體會到知識的形成和發展歷程.將信息技術應用于數學教學，通過其演示數學史上的經典試驗，既能節省大量的課堂操作時間，把更多時間留給學生獨立思考和有效交流，又能使學生直觀地感受到經典試驗的流程，體會古代數學家的智慧，從而使數學教學變得更加便捷、科學和高效.在充分互動的學習環境中，學生也能更好地掌握數學知識，培養數學思維，提升實踐、探究與創新能力.

在這個環節中，筆者通過信息技術幫助學生體會頻率的隨機性與穩定性，如借助多媒體視頻展示案例，借助Excel 整理、描述、呈現學生拋擲硬幣試驗的數據，借助GeoGebra 模擬拋硬幣和摸球試驗并繪制成表格和圖象直觀地描述試驗數據.這些技術手段有效地輔助了學生對數據進行整理與呈現、觀察與分析、猜想與驗證等活動，促使學生有步驟地體會頻率與概率的關系，并歸納出用頻率估計概率的方法和要點.

［師生活動］教師展示利用GeoGebra 軟件模擬的投硬幣試驗1000 次，利用軟件繪制出頻率變化動態圖象.學生自主發現試驗次數較少時，頻率表現出隨機性的可能性相對比較大，而隨著重復試驗次數的不斷增加，頻率則越來越呈現出穩定性，穩定在某一具體數值附近的可能性越來越大.

設計意圖：應用信息技術輔助教學，幫助學生進一步理解頻率具有隨機性，同時通過軟件模擬的大量重復試驗中的數據呈現，向學生直觀地展現出大量獨立重復試驗中頻率的穩定性，以此引導學生準確地表述頻率與概率的關系.

［師生活動］教師呈現教材第53頁的史料數據，學生依據數據進一步感受頻率的穩定性，體會數學家求真務實的精神.

設計意圖：使用數學史料，既能起到增加試驗次數的目的，又能使學生在史料中感受數學家求真務實、勇于探索的精神.

問題4：在不透明的箱子內裝有紅色和藍色共5個小球，它們除了顏色外沒有其他區別.在不打開箱子的情況下，每次隨機摸出一個球后放回，你能估計出箱子內紅球的個數嗎？

相對于傳統的DEA方法獲得的城市旅游效率方式來說，其結果明顯被高估，而應用Bootstrap-DEA模型利用糾偏測度獲得的結果更為符合實際的狀況，分析近年來廣東省城市旅游效率產生的空間變化來說，年度旅游效率存在較為顯著的差異性，整體效率水平有待提升，多數的城市均實現了總計數效率有效。而基于時間變化的角度分析，因為旅游效率與旅游產出的增長態勢具有一定的差異，主要就是因為近年旅游政策的影響，導致長期的投資項目不斷增多，這樣就造成了投資冗余，導致旅游經濟無效城市的數量不斷增多。

［師生活動］教師指導學生經歷試驗設計、試驗實施、問題解決等過程.在學生充分思考、設計并實施后，教師利用計算機軟件演示大量試驗，繪制頻率分布圖.師生一同歸納得出：概率可估，估之有道，大量試驗，頻率穩定.教師展示雅各布·伯努利給出嚴格證明的數學史料.

設計意圖：引導學生通過分析模擬摸球問題的數據情況，歸納出解決問題的關鍵是確定事件發生的概率.學生在經歷問題解決的過程中積累經驗，加深對用頻率估計概率的方法的認同.用數學史料的介紹初步激發學生的“三會”意識.

（四）以應用為目的，再現文化魅力，讓素養在問題解決中彰顯

數學文化的價值不僅在于數學知識的學習過程，也在于它的應用價值，數學應用同樣是數學文化融入數學教學的契機.荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾倡導“再創造理論”，即“對學生和數學家應該同樣看待，讓他們擁有同樣的權利，那就是通過再創造來學習數學，而且我們希望這是真正的再創造，而不是因襲和仿效”［2］.因此，教學設計應多聯系實際，關注數學在日常生活中的應用，結合數學文化的應用價值，根據學生的認知基礎和規律，分析學生學習可能會產生的問題或薄弱環節，有針對性地設計基于數學文化的體驗式教學，將再創造的機會留給學生.如可將凝結在數學概念中的數學家的思維活動還原，以若干典型事例為載體，引導學生分析事例特征，進而把蘊藏于基本活動經驗中的基礎知識、基本技能和基本思想，靈活地運用于歷史上曾經發生過的經典問題解決中.這樣不僅能使學生感受數學文化的魅力，也能使隱性的素養得以彰顯.

在這節課中，筆者基于《課程標準》的要求以及教學實踐中出現的問題，給出中學階段用頻率估計概率兩個核心點，即試驗隨機性以及大量重復試驗下頻率的穩定性的活動設計.筆者將“三門問題”“巧用頻率妙求π”“威廉·向克思的憾事”等經典數學試驗巧妙地穿插于這兩個活動設計中，既體現對頻率穩定性的學科理解［3］，又有利于在問題解決的過程中展現素養達成的效果.

問題5：你能增加“選中汽車”的概率嗎？

［師生活動］教師通過視頻呈現“三門問題”：“三扇門后分別是汽車、山羊、山羊，選中后面有車的那扇門可贏得該汽車.當參賽者選定了一扇門后，主持人先不開啟它，而是打開另一扇門，露出其中一只山羊，然后問參賽者要不要換另一扇仍然關閉的門.問題是：換門是否可以增加參賽者贏得汽車的概率？”學生從不同角度獨立思考并嘗試計算，感受不容易用列舉法求這個隨機事件的概率，再經歷同伴交流，發現不同的學生有不同的解答思路和答案，互相難以說服別人.教師提示可以用頻率估計概率并用紙牌模擬試驗來驗證.最后，教師利用軟件增加試驗次數，引導學生估計“換門有車”和“不換門有車”的概率.

設計意圖：“三門問題”是有違直覺的概率問題的極具代表性的例子，不容易通過計算獲得概率值，歷史上曾引發激烈探討.以此問題引出學生對同一問題的不同看法，可使學生在認知沖突中激起對頻率、概率知識的學習熱情，進而運用數學知識獨立設計并實施運用以頻率估計概率的試驗方案.而引導學生通過具身經歷和及時歸納，充分認識到“對于概率不可或不易通過計算求得的問題，可以采取用頻率估計概率這一有效方法”，則能成功突破課時教學難點.

問題6：你還知道生活中有哪些問題需要應用頻率與概率的關系來解決嗎？

［師生活動］學生思考、回憶并分享.教師展示相關數學史料，如“巧用頻率妙求π”“威廉·向克斯的憾事”等.

設計意圖：通過數學發展史上利用頻率與概率關系估計π 值問題，以及英國數學家威廉·向克斯引以為傲的一生中最重要的成果居然被人運用頻率與概率關系的方法推翻等經典案例，讓學生進一步認識頻率與概率關系的應用，并激發學習數學的興趣，增加對數學科普書籍的閱讀，提高用數學的眼光觀察現實世界的意識.

（五）以回顧為契機，在反思中提升，讓元認知在文化熏沐的復盤中形成

運用元認知、反思性學習等理論指導小結整理環節，能不同程度地提高學生的反思意識和能力，既能有效輔助教學活動、提升學習效果，又能呼應學生發展核心素養中“自我管理”“勤于反思”的操作要點，它是PDCA（P、D、C、A 分別為Plan、Do、Check、Act 的首字母，意為計劃、執行、檢查、行動）全面質量管理思想在數學課堂教學中的具體落實.

為這節課作小結時，筆者引導學生回顧整節課的流程：通過自己拋硬幣和數學家拋硬幣的比較，體會從小事做起、求真務實的治學嚴謹態度，體會用數學的眼光觀察現實世界，體會大膽猜想與小心求證相輔相成的關系，體會用數學的思維分析現實世界；通過對“三門問題”的分析與解答，以及“巧用頻率妙求π”和“威廉·向克斯的憾事”的學習，加強用頻率估計概率這一方法來解決問題的意識和能力，強化用數學語言表達現實世界的能力.這些具體內容的回顧以及開放性問題的提出，不僅有利于學生落實核心知識、浸潤數學文化的魅力，也能有效地促進學生數據分析等核心素養的提升.

問題7：你能從收獲、困惑與好奇等方面回顧這節課的學習過程嗎？

［師生活動］教師帶領學生一起回顧這節課所學的主要內容，從收獲、困惑與好奇等角度對課時學習進行小結.

［課后任務］完成試驗：投一枚圖釘，估計出“釘尖朝上”的概率.

設計意圖：通過及時有序的歸納小結，鞏固對用頻率估計概率這一方法的掌握及探索過程，要求學生結合對困惑與好奇等的思考完成相應的課后任務，使課堂始終是開放的.

綜上，將數學文化融入課堂，耦合于教與學的環節，可使數學平易近人、盡顯魅力，讓學生真正愛上數學并主動投入到數學的學習研究中.教師需要在充分理解數學、理解學生、理解教學、理解技術的基礎上，努力探索將數學文化滲透于數學課堂的路徑，從而更好地落實對學生數學核心素養的培育.