高中數學教學中運用探究式教學法的實踐

張庚年 （甘肅省武威鐵路中學）

在學科教學中，教師教會學生如何自主探究獲取知識比單純傳授知識更有意義。數學作為一門基礎學科，其研究對象與內容的廣泛性和抽象性、理論體系的系統性和嚴密性、研究方法的靈活性和精確性，對培養和訓練學生的探究能力具有獨特優勢。探究對培養學生的創新精神和實踐能力具有重要意義，是培養學生核心素養的重要手段。因此，培養學生的探究意識和探究能力是高中數學教師的重要任務，也是數學教育工作者的使命。為此，教師要轉變傳統的教學觀念，結合教學內容，積極創設條件，靈活運用探究式教學法，激發學生的探究興趣，讓學生樂于探究、勇于探究，有效培養學生的探究意識和探究能力。

一、探究對于數學發展的重要意義

數學是一門研究數（或式）的運算關系、圖形的結構關系、變量間的變化關系、空間的位置關系等的學科。數學來源于生活，又高于生活。數學的發展對人類的生活、生產實踐活動具有強大的推動作用。在生活、生產實踐活動中，我們可能會遇到各種各樣的困難或問題，對問題進行提煉、歸納、概括，并引入科學合理的符號、語言，抽象成一個或多個數學問題，深入進行探索研究，有時便發現了重要的數學結論或數學定理，有時也會因此引發創建新的數學分支，推動數學的發展。例如，歐拉正是通過對“哥尼斯堡七橋問題”的探索與研究建立了“圖論”這一數學分支。在后續的研究中他又發現了“多面體的歐拉定理”，從而為“拓撲學”的建立奠定了理論基礎。由此可見，積極進行數學探究活動，不僅是數學發現的重要途徑，而且還是推動數學不斷發展的源泉。

二、探究對于數學學習的價值

高中數學學習的內容更為復雜和抽象，學習目標也不再是對知識簡單、機械地背誦或記憶，而是要弄清概念的本質，洞悉公式與定理的來歷與推導過程，從過程中領悟數學思想方法。一方面，學生通過之前的學習積累了一定的數學基礎知識，有了對數學內容和方法的初步認知，形成了淺顯的數學思維；另一方面，隨著年齡的增長，學生有了相對成熟的思維能力和理解能力，有較為充沛的精力和較強的探究欲望。因此，在高中數學教學中，教師適時地引導學生開展數學探究活動，不僅能加深學生對數學概念、定理等知識的理解，升華對數學知識的認知，掌握新、舊知識之間的聯系，了解數學發展的歷史與文化，還能讓學生重溫數學家關于數學發現的過程，體會數學思想的博大精深，收獲數學發現的快樂與喜悅，增進對數學家的了解和崇拜之情，形成良好的數學思維品質。

三、運用探究式教學法的策略

1.在概念、定理教學中培養探究意識和探究能力

高中數學知識內容豐富。有的知識屬于陳述性或者描述性知識，只需要學生正確理解其意義，能進行是非判別。對于這類知識的學習，教師應該多安排學生課前預習自學，課上精講多練，在練習檢測中反饋學生的理解情況，有針對性地加以糾偏指正即可。有的知識是在學生已有知識的基礎上推理演變而重新生成的，需要學生弄清楚知識的產生緣由和來龍去脈才能更好地理解知識和運用知識。針對這些知識的教學，教師就要結合學生實際，在了解學生知識儲備和認知水平的基礎上，適時合理設計探究問題，引導學生開展探究活動，以達到追根溯源、夯實根基的目的。

（1）在概念教學中合理運用探究式教學法。

有些數學概念其本身的含義通俗易懂，但在應用過程中展開探究會有新的發現。例如，湘教版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）必修第一冊“集合與邏輯”這部分知識，學生在學習時容易乏味。為此，在教學“子集和補集”時，教師可以針對“子集”這一概念設置一組探究練習題：分別寫出下列集合的所有子集。試探究任意集合M所有子集的個數與集合M中所含元素的數目n之間的關系。通過本組練習引導探究活動，不僅能讓學生在動手寫子集的過程中進一步加強對子集概念的理解，更重要的是激發了學生的探究興趣，為數學學習指引了方向，同時還讓學生發現了一個結論：含有n個元素的集合，其所有子集的總數為2n個。緊接著，教師再通過探究練習“集合共有多少個非空真子集？”來鞏固發現成果，讓學生體會發現的價值，收獲發現的喜悅。

又如，在教學教材選擇性必修第一冊中“等差數列”“等比數列”的概念時，教師可以引導學生從定義中保留限制條件“從第2 項起”和去掉這個條件后兩者進行對比探究，思考差異，不僅可以讓學生對概念有更為精準的理解與把握，還有助于學生理解兩個數列的遞推公式中為什么要強調n≥2，以此培養學生嚴謹的數學態度。

（2）在定理的證明與推導中運用探究式教學法。

數學定理通常是精準地刻畫了相聯系的各要素之間的關系或規律，在相對領域或范圍內具有普遍性和通用性，它的證明也具有一般性和嚴密性。高中數學中的定理大多數是數學界比較著名的，它們的證明方法經過了前人的推敲與檢驗，具有很好的示范引領作用。在教授這些內容時，部分教師往往忽視了定理的推理證明過程，把重心放在了定理的應用舉例和練習上，而這恰恰是本末倒置的做法。數學教學的任務不僅是對學生解題能力的培養，更要注重數學思想方法和數學思維的培養，學生一旦掌握了數學方法，形成了數學思維，更能促進其解題能力的提高。因此，教師既要重視定理的應用，更要重視定理的發現過程與推導證明過程，在過程中向學生傳授和滲透探究方法，培養學生探究能力。

例如，在教學教材必修第二冊“正弦定理”時，教師要引領學生感受定理發現的過程，學習探究的方法。教師先通過帶領學生復習回顧直角三角形的邊角關系，引導學生發現在直角三角形中有“各邊和它所對角的正弦的比值相等”這一結論。接下來，學生自然會產生“在銳角三角形和鈍角三角形中上述結論還成立嗎？”這樣的疑問。在問題的驅使下，教師指導學生在銳角三角形和鈍角三角形中展開探究活動，最后整合三種情況得到正弦定理。這樣的探究活動看似放慢了課堂進度，但極大地調動了學生學習的主動性，加深了學生對定理內容的認識，讓學生領悟了數學探究的方法和定理的證明方法，而且在探究的過程中還讓學生感受到了數學的嚴密性，培養了學生嚴謹的數學態度。在后續“擴充的正弦定理”的教學中，學生就可以模仿上述探究思路，“究出”定理中“相同的比值”恰為2R，即三角形外接圓直徑的長度。

2.在類同知識的教學中培養類比探究的思維

類比能夠培養學生的直覺思維，是一種重要的思維方法。類比思維的基本邏輯為：甲與乙是兩個事物，已知甲具有性質A，且乙具有性質A′（A和A′類似），如果再知甲還有性質B時，我們自然想到乙應該也有類似于B的性質B′。在研究活動中有時會找不到前進的方向。雖然B′不一定正確，而它恰能引起我們探究的興趣。數學研究的對象不盡相同，但有些不同的對象卻往往在某些方面具有很多相似的特點或性質。

例如，數學中的實數、向量、復數是不同屬性的量，但它們各自的加法運算都遵循交換律，各自的乘法運算（向量的數量積運算相當于實數、復數的乘法）都滿足分配律。以此為可類比的基礎，在教學教材必修第二冊“數量積的定義及計算”時，教師可以鼓勵學生大膽類比實數的運算律探究數量積的運算律，讓學生類比實數中乘法的交換律ab=ba推出向量中a·b=b·a，類比實數中乘法的分配律a(b+c)=ab+ac推出向量中有a·( )b+c=a·b+a·c。相對于探究結果來說，探究過程在某些方面更能反映學生的發展變化。在探究過程中，學生獲取的不僅僅是數學知識，還有數學思想方法，以及獨立思考和分析問題的能力，這些都將隨著探究過程不斷提高。同樣，當學生學完等差數列后再學等比數列時，教師可以放手讓學生發揮類比學習與類比探究的作用，可以發現等比數列類似于等差數列的許多性質。這樣的探究式學習既能調動學生的主觀能動性，又提高了課堂教學實效。

3.在特殊問題的處理中引導探究一般性方法

數學中特殊的圖形、特殊的位置、特殊的對象更受人關注，有現實的意義和背景。事實上，只要把特殊問題處理好了，許多一般性問題往往可以轉化分解為若干特殊問題來解決。這種思維方法也是數學研究與解題時常見而有效的方法。

例如，當學生掌握了等差數列、等比數列的各種知識與技能之后，很多非等差數列、非等比數列的問題就可以化解為這些特殊數列來處理。高中數學教材中在推導等比數列前n項和的公式時，使用了錯位相減法。教師通過板演具體處理方法，讓學生理解領會此方法的數學原理后，不失時機地引導學生把等比數列看作是一個公差為1 的特殊等差數列與一個等比數列的積數列。因為它的求和能使用錯位相減法，于是向學生提出問題：求任意一個公差為d的等差數列與任意等比數列的積數列的前n項和，是否還能使用錯位相減法？教師引出問題后讓學生在課后分小組討論探究，以此滲透從特殊到一般的探究方法，并讓學生探究清楚上述數列為什么能用錯位相減法求和，真正掌握錯位相減法求和的具體步驟和方法。引發此類探究活動的載體可以靈活多樣，既可以是教材中的某個片段，又可以是某道例題、習題，還可以是一次考試中的某個試題等。探究的形式可以是一次小組活動，一次作業，還可以是一次課堂小測驗。

4.在學生的生活體驗中探究數學的理論解釋

數學能解決生產實踐活動中的問題，也能解釋生活中的許多現象。學生成長過程中會有種種生活體驗感。

例如，我們把一重物固定于一斜面上，在抬起斜面時會感受到：隨著斜面與水平面夾角θ的增大，抬起斜面越來越容易。這種體驗在學習教材必修第一冊“三角函數”時通過探究分析就可將它轉化為數學問題：函數F=Gcosθ的單調性。這里的G為重物的重力，是定值，而當時，cosθ隨角θ的增大而減小，所以F將隨角θ的增大而減小。雖然這個問題的解決不復雜，但它涵蓋了物理知識和數學知識，在培養學生學科間的綜合應用能力方面大有裨益，其中蘊含的探究精神和探究意識也是難能可貴的。

又如，我們將一定量的冰糖放在一杯水中，嘗一嘗不夠甜，于是再放入一塊冰糖使其溶解（水不溢出），會比剛才更甜些。如果將其概括成數學問題：第一次糖水的濃度一定小于第二次糖水的濃度，即已知a ＞b ＞0，c ＞0，則。這樣的過程旨在培養學生將生活體驗抽象概括為數學問題的能力，在探究證明上述不等式成立的過程中又強化了不等式證明的一般方法——作差法。如果再引導學生通過探究函數的單調性來解釋問題，又能培養學生的發散思維。這種將學生體驗與數學緊密結合的探究活動容易激發學生的興趣，教師在備課時應該充分挖掘這方面的素材，合理融入數學教學實踐中，讓數學課堂變得豐富多彩，拉近數學與生活的距離。

5.在信息技術輔助下拓寬數學探究的廣度和渠道

信息技術的飛速發展，不僅改變了教學環境和教學方式，還改變了學習模式和學習手段。在高中數學教學中應用信息技術，能借助信息技術的資源優勢和技術優勢豐富數學教學內容，優化教學方法，調動學生的主觀能動性，有效突出教學重點，突破教學難點。借助信息技術繪制函數圖象，探究圖形的形狀、位置關系，探究動點的軌跡都非常便捷、迅速且直觀形象。

例如，在教學教材必修第一冊“指數函數”時，教師可以應用幾何畫板軟件繪制指數函數y=ax（a＞0，且a≠1）的圖象，不僅能知道一個具體函數的圖象形狀與輪廓，還能探究底數a改變時函數圖象形狀的變化規律，對學生歸納、概括函數的性質及不同指數函數間的聯系與區別有重要作用。另外，借助信息技術的動畫演示還可以幫助學生理解抽象的數學知識，讓學生發現一些數學現象，從而再引起理論上的探究，使問題上升一定的高度。

綜上所述，在高中數學教學中，教師要充分挖掘教材內容和生活素材，于不同的情境、不同的內容和對象、不同的形式和渠道，以不同的載體靈活進行歸納探究、類比探究、從特殊到一般的探究、體驗式探究、信息技術輔助探究等多元化的探究活動，充分調動學生探究的積極性和主動性，培養學生的探究能力，發展學生的數學核心素養。