融合基本圖形，助力素養提升

錢宗

【摘要】融合基本圖形的性質和特征解題是一線教師關注的焦點，本文以一道中考幾何試題的剖析入手，從剖析基本圖形視角出發，探討解決幾何難題的重要方法，引導學生在實踐中提升數學解題能力，提升學科核心素養.

【關鍵詞】基本圖形；初中數學；解題能力

幾何題是初中數學課程教學中的重點和難點，綜合幾何題給不少學生帶來一定困難，實踐表明，綜合幾何題中的幾何圖形一般由若干個基本圖形組合而成，在組合過程中基本圖形的部分性質出現隱蔽的現象；可見，綜合幾何題的剖析過程離不開對基本圖形性質的理解與應用.本文以一道中考幾何題為探究載體，重點探討在幾何題中如何從基本圖形入手，層層剖析復雜幾何圖形，提升學生數學解題能力.

1 原題剖析與方法探究

題目 邊長為2的菱形ABCD中∠B為銳角，如圖1所示，AE⊥BC，DM⊥ME，點M為AB的中點，試求cosB的值.

剖析 根據題設信息可知，只需求出BE即可求得cosB的值，在現有的圖形中缺少與BE直接聯系的數量關系，此時需要根據構建基本圖形，挖掘其中隱含的信息，進而獲取與BE相關的數量關系，從而求解.從直角和中線特征出發構造基本圖形，如圖2所示.解法1 基本圖形“中垂線”性質的應用

延長線段EM、DA交于點N，連接DE，如圖3所示，

因為AD∥BC，

所以∠NAM=∠MBE，

因為M為線段AB的中點，∠AMN和∠BME是對頂角，

所以△AMN≌△BME，則AN=BE，MN=ME.

設BE=AN=x，

因為DM⊥EN，

所以DE=DN=x+2，

在Rt△AED中，AE2+AD2=DE2，

即4－x2+22=（x+2）2，即x=－1+3（x>0），

則cosB=BEAB=－1+32.

解法2 基本圖形“倍長中線”特征的應用

延長線段EM、DA交于點N，如圖4所示，根據解法1可知，DN=x+2，MN=1，NE=2.

因為△AEN∽△MDN，所以，ANNM=NEND，

則x1=2x+2，所以x=－1+3（x>0），

則cosB=－1+32.

2 變式拓展與有效延伸

學生數學思維廣度的拓展與延伸離不開數學題的一題多解、多解歸一的剖析，一題多變是強化學生思維深度的重要手段，文章原題中涉及基本圖形性質與特征是本題核心所在，作為教師可以對題設條件進行改變，達成一題多變的效果，引導學生進行分析，可以有效提升學生分析問題和解決問題的能力.

變式1 （改變M是線段AB中點的條件）已知邊長為2的菱形ABCD中∠B為銳角，如圖5所示，AE⊥BC，DM⊥ME，點M為AB的三等分點，試求cosB的值.

變式2 （改變菱形和M是線段AB中點的條件）在平行四邊形ABCD中∠B為銳角，如圖6所示，AE⊥BC，DM⊥ME，點M為AB的三等分點，其中AB=2、AD=3，試求cosB的值.

3 教學啟示

第一，挖掘課本教材資源，引導學生構建圖形體系.在課本教材的經典例題和習題中，經常涉及由幾個基本圖形組合而成的復雜幾何圖形，教師可以帶領學生提煉出基本圖形進行剖析，引導學生從基本圖形視角出發分解復雜幾何圖形，形成自己的圖形建構體系.同時，教師可以根據經典試題中的基本圖形素材進行命題，讓學生在實踐中提升解決問題的能力，體驗基本圖形的價值與功效.

第二，洞悉基本圖形生成，提升學生分析問題能力.《義務教育數學課程標準》明確要求，學生具備從復雜幾何圖形中分解基本圖形的能力；在教學實踐中，教師可以引導學生從基本圖形出發剖析典型案例，讓學生經歷基本圖形的生成過程，感悟基本圖形的應用意義與價值.

第三，關注圖形教學反思，提升學生數學解題能力.眾所周知，反思是數學思維活動的核心和動力，是快速提升學生分析問題、解決問題能力的重要手段.在幾何解題教學中，數學教師應引導學生從“基本圖形的構成、分析過程中的困難、基本圖形性質的拓展與應用”三個角度進行反思，進而不斷提升學生數學解題能力.

4 結語

總而言之，從復雜幾何圖形中分解出基本圖形進行剖析是解決幾何試題的重要方法，作為一線的初中數學教師，在幾何教學過程中，可以引導學生從典型案例入手，挖掘基本圖形模型，讓學生在實踐中提升學生數學學科核心素養.

參考文獻：

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