推進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合

張加紅 張志勇

摘 要：信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用已由現(xiàn)代化教學(xué)手段、課程整合向深度融合發(fā)展。數(shù)學(xué)教學(xué)需要能夠深入學(xué)科內(nèi)部的軟件，從而實(shí)現(xiàn)難分彼此的“融合”。推進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合，需要真正觸及教育系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性變革，因此，需要開(kāi)發(fā)課程資源、變革學(xué)習(xí)方式、重構(gòu)教學(xué)時(shí)空，讓學(xué)習(xí)走向深度，讓探究成為習(xí)慣，讓創(chuàng)新就在身邊。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；信息技術(shù)；數(shù)學(xué)學(xué)科軟件；深度融合

在“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，人工智能、大數(shù)據(jù)、5G、區(qū)塊鏈、量子通信等的迅猛發(fā)展，使得信息技術(shù)的應(yīng)用正以前所未有的深度和廣度加速滲透到各個(gè)領(lǐng)域。于是，“信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合”成為基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的重要理念。然而，即便是信息技術(shù)高度發(fā)達(dá)的今天，著名的“喬布斯之問(wèn)”（為什么計(jì)算機(jī)改變了幾乎所有領(lǐng)域，卻唯獨(dú)對(duì)學(xué)校教育的影響小得令人吃驚）在數(shù)學(xué)教學(xué)中一樣存在。理想與現(xiàn)實(shí)的強(qiáng)烈反差讓我們不得不追問(wèn)：數(shù)學(xué)教學(xué)需要怎樣的信息技術(shù)？什么是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合？怎樣才能實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合？

一、 數(shù)學(xué)教學(xué)需要怎樣的信息技術(shù)

提起信息技術(shù)，很多教師可能會(huì)立刻想到“PPT+投影”。數(shù)學(xué)教學(xué)需要的信息技術(shù)大致也可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是支持教學(xué)活動(dòng)的，如投影；一類(lèi)是服務(wù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的，如PPT。當(dāng)下，支持教學(xué)活動(dòng)的技術(shù)有很多，如顯示設(shè)備（電子白板、交互式一體機(jī)等）、智能移動(dòng)終端（手機(jī)、平板電腦、筆記本電腦等）、無(wú)線(xiàn)同屏投影技術(shù)、智慧教育云平臺(tái)等，它們共同搭建了一個(gè)聯(lián)通共享的教學(xué)環(huán)境。特別值得一提的是無(wú)線(xiàn)投屏技術(shù)，可以實(shí)現(xiàn)移動(dòng)終端媒體內(nèi)容的共享，也可以記錄和分享課堂生成的學(xué)生個(gè)性化成果、典型問(wèn)題。所以，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，不能只選擇投影這樣簡(jiǎn)單的單向傳輸技術(shù)。考慮到數(shù)學(xué)教學(xué)的特殊性，以下我們專(zhuān)門(mén)討論服務(wù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的信息技術(shù)。

首先，PPT這樣的文稿演示軟件真的能夠支持?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)嗎？姑且不提課堂教學(xué)的動(dòng)態(tài)生成，只是數(shù)學(xué)對(duì)象的準(zhǔn)確呈現(xiàn)就“舉步維艱”，如分段函數(shù)圖像、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相切等，何況還有嚴(yán)格的數(shù)量關(guān)系的理解、動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。有教師可能會(huì)以“每個(gè)學(xué)科的教學(xué)都在用PPT”來(lái)反駁。確實(shí)，這種普適性的技術(shù)可以花費(fèi)較少的代價(jià)而得到更多的應(yīng)用領(lǐng)域或用戶(hù)。然而，此類(lèi)“方便留給開(kāi)發(fā)者，困難交給使用者”的技術(shù)，并沒(méi)有讓有追求的數(shù)學(xué)教師體會(huì)到技術(shù)帶來(lái)的優(yōu)勢(shì)和價(jià)值。于是，大部分教師對(duì)PPT棄而不用，依然使用“粉筆+黑板”的方式進(jìn)行公式推導(dǎo)、算式演算、幾何作圖等。

數(shù)學(xué)教學(xué)需要怎樣的信息技術(shù)？作為綱領(lǐng)性的教學(xué)文件，盡管課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于信息技術(shù)應(yīng)用的表述有些滯后，但從中還是可以發(fā)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用信息技術(shù)的發(fā)展沿革：信息技術(shù)工具跟隨技術(shù)發(fā)展及教育應(yīng)用的方向變化，1988年開(kāi)始推薦幻燈片、投影、錄像等視聽(tīng)媒體，2011年推薦多媒體、計(jì)算機(jī)及其軟件等諸多數(shù)字化工具，2017年推薦“互聯(lián)網(wǎng)+”在線(xiàn)教育平臺(tái)等；信息技術(shù)應(yīng)用理念也以“優(yōu)化教學(xué)、提升質(zhì)量”為初衷不斷更新，從將信息技術(shù)應(yīng)用僅僅視為現(xiàn)代化教學(xué)手段，到實(shí)現(xiàn)技術(shù)與數(shù)學(xué)課程全面對(duì)話(huà)的課程整合，再到信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教育全過(guò)程、創(chuàng)新式融合。［1］更具體地，“為學(xué)生理解概念創(chuàng)設(shè)背景，為學(xué)生探索規(guī)律啟發(fā)思路，為學(xué)生解決問(wèn)題提供直觀(guān)，引導(dǎo)學(xué)生自主獲取資源”［2］，正是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)需要的信息技術(shù)的正面訴求。

俗話(huà)說(shuō)：鞋子合適不合適，只有腳才知道。所以，我們可以進(jìn)一步分析數(shù)學(xué)的學(xué)科屬性。數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，所以要有多元表征、情境創(chuàng)設(shè)、直觀(guān)形象功能，支持學(xué)生的理解；數(shù)學(xué)基于抽象結(jié)構(gòu)展開(kāi)精確（定量）、嚴(yán)謹(jǐn)（邏輯）的研究，所以要有數(shù)據(jù)分析、符號(hào)運(yùn)算、形式推理功能，支持學(xué)生的探索；數(shù)學(xué)幫助人們認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系和規(guī)律（本質(zhì)），所以要有動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)、模型構(gòu)建功能，支持學(xué)生的發(fā)現(xiàn)。我們將這類(lèi)能夠深入數(shù)學(xué)學(xué)科的信息技術(shù)稱(chēng)為數(shù)學(xué)學(xué)科軟件。數(shù)學(xué)學(xué)科軟件要受到教師和學(xué)生的歡迎，還需要有簡(jiǎn)便易行的特征，具體而言，包括功能齊全交叉集成、入門(mén)容易即學(xué)即用、簡(jiǎn)化操作適應(yīng)習(xí)慣、強(qiáng)化交互開(kāi)放兼容等要素。［3］對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，GeoGebra、網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板、幾何畫(huà)板、Cabri 3D、圖形計(jì)算器等，稱(chēng)得上數(shù)學(xué)學(xué)科軟件的重要選項(xiàng)。

二、 什么是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合

從字面上理解，“融”是融化溶解，強(qiáng)調(diào)的是方法過(guò)程；“合”是交匯合成，凸顯的是目標(biāo)結(jié)果。“融合”的含義應(yīng)該是難分彼此，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)合二為一、融為一體。我們先看一個(gè)融合的案例。

【案例1】從任意三角形的內(nèi)切圓到任意四面體的內(nèi)切球

眾所周知，類(lèi)比推理是研究立體幾何的基本方法。于是，有學(xué)生提出問(wèn)題：任意的三角形有唯一的內(nèi)切圓，那么任意的四面體是不是也有唯一的內(nèi)切球呢？應(yīng)該說(shuō)，這是一個(gè)很好的類(lèi)比探究素材。難點(diǎn)是無(wú)法證實(shí)，推理證明當(dāng)然難以實(shí)現(xiàn)，幾何構(gòu)造也困難重重。于是想到向GeoGebra求助，師生一起經(jīng)歷了一次現(xiàn)場(chǎng)生成的創(chuàng)造實(shí)踐。

先是創(chuàng)意思考。構(gòu)造內(nèi)切球需要找到球心、算出半徑。半徑只要用指令“距離（〈點(diǎn)〉，〈對(duì)象〉）”即可輕松算得，關(guān)鍵在球心的確定。考慮到“三角形的內(nèi)心為三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)”，類(lèi)比猜想“四面體內(nèi)切球的球心為六個(gè)二面角平分面的交點(diǎn)”。而兩個(gè)平面相交得到一條直線(xiàn)，兩條直線(xiàn)相交確定一個(gè)交點(diǎn)，因此實(shí)際操作時(shí)，只要繪制三個(gè)二面角平分面。二面角平分面沒(méi)有定義，只能構(gòu)造。借鑒角平分線(xiàn)的含義“將一條邊上任意一點(diǎn)繞著頂點(diǎn)向另一條邊的方向旋轉(zhuǎn)角度的一半得到一個(gè)新的點(diǎn)，連接新的點(diǎn)和頂點(diǎn)即可得到角平分線(xiàn)”，可以定義二面角平分面這一新概念。

再進(jìn)行構(gòu)造實(shí)踐。在指令框中分別輸入“平面（旋轉(zhuǎn)（A，角度（平面（A，B，C），平面（P，B，C））/2，直線(xiàn)（B，C）），B，C）”“平面（旋轉(zhuǎn)（B，角度（平面（B，C，A），平面（P，C，A））/2，直線(xiàn)（C，A）），C，A）”“平面（旋轉(zhuǎn)（C，角度（平面（C，A，B），平面（P，A，B））/2，直線(xiàn)（A，B）），A，B）”，可得平面l、m、n；再輸入指令“交點(diǎn)（相交路徑（m，l），相交路徑（m，n））”，可得球心M；接著輸入指令“距離（M，平面（P，A，B））”，可得球的半徑R；最后輸入指令“球面（M，R）”，便可得到四面體PABC的內(nèi)切球M（如圖1所示）。

上述探究過(guò)程不僅是一次運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)踐活動(dòng)，更是一次數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”。比如，我們定義了二面角的平分面，構(gòu)造了任意四面體的內(nèi)切球，發(fā)展了數(shù)學(xué)研究的類(lèi)比推理方法……在此

吳康寧教授曾經(jīng)將信息技術(shù)“進(jìn)入”教學(xué)的方式，分為塞入、加入、嵌入、融入四類(lèi)，并形象地將相應(yīng)的信息技術(shù)與教學(xué)的關(guān)系描述為“湊合”的陌生“路人”、“聯(lián)合”在一起的“同人”、相互“結(jié)合”的“友人”、“融合”為一體的“親人”。［4］從“貌合神離”“若即若離”“一唱一和”到“難舍難分”，恰恰說(shuō)明：將信息技術(shù)“塞入”“加入”教學(xué)是不可取的；即便將信息技術(shù)“嵌入”教學(xué)，依然不能有力回應(yīng)信息化時(shí)代對(duì)教學(xué)提出的強(qiáng)勁挑戰(zhàn)；信息化時(shí)代呼喚與之相應(yīng)的新教學(xué)，只有“融入”，才能創(chuàng)構(gòu)出全新的教學(xué)時(shí)空，才有可能誕生新教學(xué)。

三、 怎樣推進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合

反思以往信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用成效不顯著的原因，關(guān)鍵在于要真正觸及教育系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性變革，而不只是改進(jìn)教學(xué)手段、促進(jìn)學(xué)習(xí)理解這樣的“漸進(jìn)式修修補(bǔ)補(bǔ)”。

（一） 開(kāi)發(fā)課程資源，讓學(xué)習(xí)走向深度

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合，首先意味著可以發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科軟件的多元表征、情境創(chuàng)設(shè)、直觀(guān)形象等優(yōu)勢(shì)，不斷拓寬數(shù)學(xué)對(duì)象的外延，開(kāi)發(fā)更多能夠觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的課程資源，從而為學(xué)生的數(shù)學(xué)理解構(gòu)建場(chǎng)域，為真實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)開(kāi)辟路徑。當(dāng)然，重要的是“以深刻的思想啟迪學(xué)生”，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深度，獲得樸素而廣泛、深厚而靈動(dòng)的數(shù)學(xué)思想。

【案例2】從截線(xiàn)定義到軌跡定義的圓錐曲線(xiàn)

早在公元前3世紀(jì)前后，古希臘學(xué)者便發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線(xiàn)。梅內(nèi)克繆斯用平面截不同頂角的圓錐，得到三種圓錐曲線(xiàn)（如圖2所示）；阿波羅尼斯則在同一個(gè)圓錐中改變截面相對(duì)圓錐軸的夾角，截出三種圓錐曲線(xiàn)（如圖3所示）。然而，從截線(xiàn)定義到軌跡定義，數(shù)學(xué)家們卻用了兩千多年的時(shí)間。直到1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林利用圓錐的兩個(gè)內(nèi)切球，在截面上作出圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，再利用球的切線(xiàn)長(zhǎng)相等的結(jié)論，推導(dǎo)出圓錐曲線(xiàn)的第一定義，從而填平了圓錐曲線(xiàn)截線(xiàn)定義到軌跡定義的鴻溝。以橢圓為例，用GｅｏGｅｂｒａ作圖，如圖4，在橢圓上任取一點(diǎn)M，圓錐過(guò)點(diǎn)M的母線(xiàn)與（雙球與圓錐的）切線(xiàn)分別相交，交點(diǎn)為P、Q，則PQ為定值。又由球的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，知MF1=MQ，MF2=MP，于是，MF1+MF2=MQ+MP=PQ為定值，從而可得橢圓的軌跡定義。

圓錐曲線(xiàn)概念的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生而言有很大困難，初學(xué)者很難將平面的橢圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)與立體的圓錐聯(lián)系起來(lái)，即便有足夠的空間想象力，也難以由截線(xiàn)定義過(guò)渡到軌跡定義。有了信息技術(shù)，學(xué)生便可插上想象的翅膀，在動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)的直觀(guān)情境中深度思考，而直觀(guān)想象、邏輯推理、模型構(gòu)建正可蘊(yùn)涵其中。

（二） 變革學(xué)習(xí)方式，讓探究成為習(xí)慣

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合，固然要“為學(xué)習(xí)和教學(xué)提供豐富的資源，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果”，但更為重要的是變革學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。將技術(shù)交到學(xué)生手中，讓他們自主操作、主動(dòng)探索，在經(jīng)歷豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)上積累足夠的經(jīng)驗(yàn)，在使用技術(shù)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)中，體驗(yàn)探究的樂(lè)趣和發(fā)現(xiàn)的美妙。

例如，教學(xué)圓錐曲線(xiàn)的概念時(shí)，可以讓學(xué)生用GｅｏGｅｂｒａ自主探究。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓錐曲線(xiàn)的形狀取決于角α、β的大小關(guān)系（α、β分別為圓錐母線(xiàn)、截面與圓錐軸線(xiàn)的夾角），并進(jìn)一步證實(shí)“β>α?xí)r為橢圓，β<α?xí)r為雙曲線(xiàn)，β=α?xí)r為拋物線(xiàn)”時(shí)，其學(xué)習(xí)效果顯然是簡(jiǎn)單的告知所不能比擬的。進(jìn)一步地，引進(jìn)圖4所示的旦德林雙球模型后，也可以讓學(xué)生帶著問(wèn)題探索發(fā)現(xiàn)。事實(shí)上，拖動(dòng)點(diǎn)M，可以在3D視圖和平面視圖的關(guān)聯(lián)情境中看到“變中的不變性”，而不變的結(jié)果會(huì)啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生逆向思考“MF1+MF2為定值”的緣由。當(dāng)類(lèi)比“圓的切線(xiàn)長(zhǎng)相等”得到球中的結(jié)論時(shí)，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的成功自然會(huì)點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)激情。從橢圓到雙曲線(xiàn)的類(lèi)比推證，更可以深化這樣的體驗(yàn)。

基于信息技術(shù)開(kāi)展數(shù)學(xué)探究，可以實(shí)現(xiàn)同一數(shù)學(xué)對(duì)象的多元表征和不同數(shù)學(xué)對(duì)象的動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)，還可以進(jìn)行大規(guī)模的計(jì)算，進(jìn)而可以支持以“自主、合作、探究”為特征的新型教學(xué)環(huán)境的營(yíng)造。在這里，學(xué)生成為知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu)者和情感體驗(yàn)的自發(fā)內(nèi)生者，而技術(shù)也成為學(xué)生認(rèn)知和交流的工具、載體。

（三） 重構(gòu)教學(xué)時(shí)空，讓創(chuàng)新就在身邊

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，是將信息技術(shù)作為催化劑推動(dòng)整個(gè)教學(xué)系統(tǒng)的改造，從而創(chuàng)建全新秩序與格局的教學(xué)時(shí)空。在這樣的時(shí)空中，教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、學(xué)習(xí)資源的獲取方式以及教學(xué)人際的互動(dòng)樣態(tài)、教學(xué)環(huán)境的整體氛圍等都將煥然一新，學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)將得到充分的激發(fā)。

如案例1中，面對(duì)課堂中的真問(wèn)題，我們?cè)谙蜍浖饕椒ā⒆尲夹g(shù)答疑解惑的過(guò)程中，發(fā)展并創(chuàng)造了新的數(shù)學(xué)，有二面角平分面這一新概念，有關(guān)于任意四面體內(nèi)切球的新結(jié)論，也有關(guān)于右手系旋轉(zhuǎn)方向的新思考。又如，應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)課堂的諸多挑戰(zhàn)，以“最佳口感茶水溫度問(wèn)題”為例，可以將GeoGebra交到學(xué)生手中，借助信息技術(shù)強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理和函數(shù)擬合功能，使數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性變得可見(jiàn)甚至可操作，從而產(chǎn)生多樣化的數(shù)學(xué)模型和解決方案；而多種函數(shù)模型的優(yōu)劣比較，可以迭代生成優(yōu)化后的二次擬合建模方案，從而構(gòu)建現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)方法的聯(lián)系通道，為數(shù)學(xué)走向生活真正“打開(kāi)一扇窗”。［5］

推動(dòng)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合，需要挖掘技術(shù)的表征優(yōu)勢(shì)、關(guān)聯(lián)優(yōu)勢(shì)、演算優(yōu)勢(shì)和數(shù)學(xué)的育人功能，以技術(shù)為載體實(shí)現(xiàn)“人—知”互動(dòng)，構(gòu)筑學(xué)生生命成長(zhǎng)與數(shù)學(xué)知識(shí)探索之間的通道。“路雖遠(yuǎn)，行則將至；事雖難，做則必成。”只要錨定融合方向、堅(jiān)持專(zhuān)業(yè)探索，就有可能在“常態(tài)化應(yīng)用中達(dá)成全方位創(chuàng)新”，真正讓學(xué)習(xí)可見(jiàn)、讓思維發(fā)生、讓文化浸潤(rùn)。

參考文獻(xiàn)：

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