依托直觀想象，培養核心素養

王圓圓

直觀想象是數學學科中的一個基本素養，主要是借助幾何（平面幾何或空間幾何等）直觀、空間想象等來感知事物或圖形的形態與變化等，進而結合圖形直觀來數形結合，利用邏輯推理與數學運算來分析與解決問題．而在數學解題過程中，依托直觀想象，通過數形結合，可以直接用來解決一些相應的直觀數學問題，“以形助形”；也可以用來解決一些特殊的抽象數學問題，“以數成形”．結合函數圖象或幾何圖形的直觀，達到“以形助數”.本文通過數例予以說明.

點評：借助中國古代數學中的天文計算設置復雜的立體幾何情景，并借助立體幾何圖形的直觀來設置創新信息問題．借助復雜的立體幾何圖形直觀，通過直觀想象，合理挖掘立體幾何圖形的內涵與本質，為進一步的邏輯推理與數學運算提供更加廣泛的空間，也是相關圖形直觀的應用本質所在．

分析：破解此類大小比較問題，技巧方法比較法．而借助函數圖象的本源，數形結合來直觀想象處理，更加直接有效．通過觀察各代數式的結構特征與形式，合理構建函數，結合函數圖象的構建，并通過同一變量所對應的函數值的比較，數形結合直觀判斷，也是解決問題的基本方法．

點評：通過合理挖掘三個代數式的結構特征，引入參數并合理構建函數，利用函數的圖象來直觀判斷，直觀巧妙．這里函數的圖象涉及指數函數、對數函數以及一次函數，只要大體的草圖即可得以確定．數形結合法可以更加直觀形象地處理函數的圖象與性質問題，關鍵就是函數圖象的大體確定與應用．

分析：依據題意條件，隨著動點A在x軸正半軸上的運動，合理“串聯”起點P的位置與點Q的位置，由此帶動相關的圖形特征．抓住動點A在變化過程中的“瞬間”場景，“動”中取“靜”，以點A與B重合的“靜”態場景來特殊化分析與處理問題，是解決該問題時直觀想象的一種“巧技妙法”．

點評：借助圓錐曲線中綜合應用問題的創新場景，利用動點的變化情況加以動靜結合來分析與處理問題．解決此類圖形直觀問題的運動情況問題時，經常借助極端思維與特殊位置（或特殊值等方法），通過問題本質的理解與掌握，合理直觀想象，數形直觀，水到渠成．特殊與一般思維，動靜結合思維等，都是直觀想象核心素養的深刻理解與提升，取決于學生對此類問題的內涵與本質的深入挖掘與應用．

分析：利用題設條件中的關系式恒等變形，結合對應關系式的結構特征，合理聯想到余弦定理中關系式的結構特征，從三角形的性質與基本不等式的應用等視角來分析與處理，合理數形結合，結合邏輯推理與數學運算來綜合應用．

點評：在處理一些相關的數學問題中，其實質不具有圖象或圖形的形式，而借助公式的結論特征、定義的幾何內涵等，合理直觀想象，數形結合，有效進行巧妙的數學建模，利用構建與之對應的圖象或幾何圖形，從幾何層面數形結合，從代數場面數學運算，無中生有，綜合應用，充分體現“數”“形”的和諧統一與完美配合．