教材探源　感悟思想　積累經驗

楊興剛

判斷函數零點個數和已知零點個數求參數范圍是高考的常考題型.試題多數基于數學情境命制，考查學生靈活運用函數、導數等知識解決問題的能力，全面綜合展現極限思想、估算思想的應用和學生的數學素養水平.判斷函數零點是否存在不僅要借助函數增長差異的“形”去判斷，而且要借助放縮估算的“數”去證明.本文以一道模擬試題為例，通過挖掘教材找根源、一題多解悟方法、反思提升育素養三個維度，探索函數零點問題的尋根之旅.

試題根據核心素養的三個水平設計問題，第（1）問通過指數函數考查學生利用導數研究函數單調性的通性通法，屬于水平一的要求;第（2）問（ⅰ）由函數零點個數求參數范圍考查學生解決一類問題的數學方法，屬于水平二的要求; 第（2）（ⅱ）問以不等式放縮和極值點偏移為背景考查學生創造性解決問題的能力，屬于水平三的要求，具有很好的區分度.本文重點探索第（2）問（ⅰ）的思維歷程，呈現函數零點問題的尋根之旅.

1教材探源，深化理解

教材中的內容、例題、習題、旁白等都是高考命題的素材，對教材深度理解與挖掘運用是培養學生數學核心素養的根本.教材探源是回歸基礎、提升能力、發展素養的必經之路.

1.1直觀感受函數變化差異

1.2導數研究函數變化快慢

人教版教材選擇性必修第二冊P88探究和P89例4，借助導數絕對值的大小，比較了兩個函數圖象變化的快慢.在教學過程中，教師要借助導數精細研究函數圖象的“陡峭”與“平緩”程度，為估算函數值的大小奠定基礎.

1.3泰勒展式估算逼近

2解題探索，感悟思想

通過對問題的多角度思考、分析與對比，不僅可以加深對基礎知識、基本技能的理解，而且可以感受基本思想方法的內涵，加深基本經驗的積累，促進數學核心素養的發展.

2.1極限思想下的解法

2.2估算解法

3反思積累經驗

參考文獻

［1］張奠宙.微積分教學：從冰冷的美麗到火熱的思考［J］.高等數學研究，2006，9（2）：2－4.

［2］馬淑風，楊向東.什么才是高階思維？——以“新舊知識關系建立”為核心的高階思維概念框架［J］.華東師范大學學報（教育科學版），2022，40（11）：58－68.