一道直線與橢圓試題的解法探究與變式

江蘇省海門中學 (226100) 姜敏華

直線與圓錐曲線的綜合問題在考試中一直處于壓軸題的位置,對于學生而言,難點主要體現在兩點:一是思路不清晰,二是計算能力不足.因此在解題教學中要幫助學生分析條件找尋思路,帶領學生看清本質,突破運算難點.本文以一道直線與橢圓試題為例談談如何幫助學生尋找思路,突破運算難點,同時充分挖掘試題展開變式探究.

一、題目

本題第(2)問將條件隱藏于三角形面積和邊長之間的等量關系之間,考查學生轉化與化歸的能力.題目中字母多,變量多,難點在于如何建立k與k′之間的關系式.

二、解法剖析

因此sin∠APQ=sin∠BPQ,而∠APQ+∠BPQ=∠ABP∈(0,π),有∠APQ=∠BPQ,于是PQ平分∠APB,直線AP,BP的斜率kAP,kBP互為相反數,即kAP+kBP=0.

解法二：設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),直線AP:y=k0(x-x0)+y0,聯立

評注：此方法,變換思路由點P出發,引兩條斜率互為相反數的直線與橢圓交于A,B兩點,求出點A,B的坐標,計算kAB即可找到問題的解,同時運算量也大大減少,只需求點A坐標,點B坐標同理可得.但是學生很有可能會利用A,B和點(1,0)三點共線處理,此時偏離了目標,同時根據此方法還可以發現kk′為定值與直線l是否過點(1,0)無關.

評注：該方法聯想到了橢圓弦中點的結論,將AB的斜率轉化為中位線MN的斜率,從而只需求出PA,PB的中點M,N即可,利用結論轉化為兩條直線的交點,從而簡化了問題的運算量.

評注：該方法在法三的基礎上,對PA,PB的斜率從兩個不同的方向尋找等量關系,從而建立起點P與AB中點與原點O斜率之間的等量關系,從而利用中點弦的結論將問題解決.運算量少,但對學生的思維能力要求較高.

評注：看到kAP+kBP聯想到一元二次方程的兩根之和,從整體上構造關于AP,BP斜率的一元二次方程,將直線與橢圓聯立齊次化建立方程,從而解決問題.問題的難點在于對方程的變形構造.

上述五種解法中方法二的過程最簡單直接,可操作性強,也需要學生能夠靈活的變換點線之間的關系.

三、變式探究

思考1 由解法二發現kk′為定值與直線l是否過定點(1,0)無關,因此,可以得到更一般的結論.

思考2 采用逆向思維,考慮原問題的逆命題是否成立?

上述變式均可以類比到雙曲線中,限于篇幅,不在贅述.一道好題,不僅可以查學生的能力,提升學生的學生的運算能力和思維水平,同時還能夠給學生創造探究的機會,給學生積累數學探究的經驗.對好題從不同的角度思考融合,可以變化出很多優美的題目.