解析幾何試題運算簡化策略探析

福建省福清市教師進修學(xué)校 (350311) 林新建

福建省福清第三中學(xué) (350315) 何文昌

閩江學(xué)院數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院(軟件學(xué)院) (350108) 林子珊

解析幾何是幾何的一個分支,用代數(shù)手段研究幾何問題是解析幾何的本質(zhì)所在,需要把“直觀”的幾何轉(zhuǎn)化為“入微”的代數(shù),形成合適的運算思路后再著手運算.這種方法的好處是減少技巧性強的幾何邏輯推理,不足之處是經(jīng)常涉及繁難的運算,學(xué)生往往難以有效解決運算問題.本文就解析幾何試題運算簡化策略作一探析,與讀者交流.

1.解析幾何試題的運算特征

數(shù)學(xué)運算作為數(shù)學(xué)活動的基本形式,是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段,在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著舉足輕重的作用.數(shù)學(xué)運算并不僅僅是一種能力,更是一種核心素養(yǎng),它是能力、思維品質(zhì)和情感態(tài)度的綜合體.

解析幾何問題運算對象多樣,運算方向不明,運算繁瑣,學(xué)生不知“算什么”、“朝哪兒算”、“怎么算”,很難將運算進行到底,經(jīng)常半途而廢[1].解析幾何難就難在運算上,能力也是體現(xiàn)在運算上,如何簡化運算就成為解決解析幾何試題的重中之重.

2.解析幾何試題的運算簡化要義

處理解析幾何問題要充分挖掘幾何圖形特征,充分探究幾何性質(zhì),通過性質(zhì)將幾何條件代數(shù)化,性質(zhì)挖掘得越徹底,運算得以簡化的程度越高.

3.解析幾何試題的運算簡化策略

解析幾何試題經(jīng)常有多個動點和曲線,參數(shù)多,有些動點的坐標(biāo)和曲線的方程是易算或可算的,可有些動點的坐標(biāo)和曲線的方程是難算或不可算的.采取不同的幾何條件代數(shù)化的手段,將得到不一樣的運算路徑,從而影響運算的準(zhǔn)確率和時間.如何有效簡化運算呢?

3.1 設(shè)而不求策略

在含有多個動點和動曲線的問題中,許多點線互相關(guān)聯(lián),牽一發(fā)而動全身.“設(shè)誰”和“如何設(shè)”都對運算量有很大影響,這需要厘清題意,分析題目的已知條件、未知條件和證明目標(biāo),找到與其它常量變量有很強關(guān)聯(lián)性的量,并假設(shè)其坐標(biāo)或方程,牽線搭橋,使點線關(guān)系相互聯(lián)系起來.把點坐標(biāo)、線、曲線方程等參數(shù)設(shè)出來,但不求出,應(yīng)用韋達定理、整體代換等方法消去參數(shù)求解問題,這種思想方法就是“設(shè)而不求”.

①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.

注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分.

(2)直線PM、QM的方程分別為y-yM=

門口一張長椅已經(jīng)坐著四個人。殷明怯怯地跟著坐在了后面，從包里拿出簡歷。經(jīng)過公交車的蹂躪，簡歷已經(jīng)有點皺了。看了看旁邊，人手里光鮮的簡歷，還包裹著漂亮的塑封封面，殷明有點難堪地把簡歷往后縮了縮，似乎想藏起來。

由②③證①:由kABkOM1=3,kPQkOM=3和PQ∥AB得kOM1=kOM,∴O,M,M1共線,又∵|MA|=|MB|,∴M在AB的垂直平分線上,∴M和M1重合,①得證.由①②證③、由①③證②也很迅速順暢,證明過程略.

評析：上述解法整合了直線PM、QM的方程,巧妙地把P,Q滿足的方程假設(shè)為3(x-xM)2-(y-yM)2=0,設(shè)而不求避免復(fù)雜運算,使問題得以簡單求解.運算簡化可以運用設(shè)而不求策略,即巧設(shè)點線坐標(biāo)方程,但不求出,通過韋達定理等整體代換方法求出未知量或者完成論證,從而避開繁難的運算.

3.2 化歸轉(zhuǎn)化策略

化歸與轉(zhuǎn)化的思想就是將各種形式的復(fù)雜或陌生的問題,轉(zhuǎn)化為簡單或熟悉的問題.在解決一個復(fù)雜的圓錐曲線問題時,站在化歸與轉(zhuǎn)化思想高度,可利用圓錐曲線定義、常見幾何模型、數(shù)化形、形化數(shù)等方法逐漸把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成一個更容易解決的問題.在運算過程中,對圖形的特征性質(zhì)挖掘得越充分,對問題的轉(zhuǎn)化越徹底,運算得以簡化的程度就越高.

圖1

評析：該解法運用了平面幾何中的定理和性質(zhì),得出四邊形P1QMA和四邊形PQ1BM都是平行四邊形,于是把證明|MA|=|MB|化歸轉(zhuǎn)化為證明弦P1Q1和PQ的中點相同,再化歸轉(zhuǎn)化為證明兩個方程兩根之和相等.該解法對平面幾何圖形特征和性質(zhì)挖掘得很充分,立足于化歸與轉(zhuǎn)化思想簡化運算,使問題迎刃而解.

3.3 特殊一般策略

認(rèn)識事物,經(jīng)常“從特殊到一般地歸納,一般到特殊地推理”,循環(huán)往復(fù),不斷深化.特殊化是重要的數(shù)學(xué)解題方法之一.解析幾何問題中經(jīng)常含有變化的點和線,依據(jù)問題在一般情況下為真則特殊情況下亦真的原理,取特殊點、特殊值、特殊位置,得出猜想或結(jié)論后,再證明猜想或結(jié)論對于一般情況都成立.

3.4 有限無限策略

有限與無限思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一,它是用無限逼近的方式從有限中認(rèn)識無限,從近似中認(rèn)識精確,從量變中認(rèn)識質(zhì)變的思想.無限化有限,有限化無限的解決問題的方法就是極限化方法[2].在解析幾何的試題中,運用極限化策略求出定值、定點和取值范圍,迅速探明解決問題的方向,輕松得到試題的結(jié)果.

評析：該解法運用有限與無限思想,在∠EAF變化過程中找到極限位置,∠EAF→0時,割線PQ→過點A′的切線,將問題進行轉(zhuǎn)化,并利用導(dǎo)數(shù)求解,將運算簡化到極致.以上解題過程簡潔明了,揭示問題本質(zhì),學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)得到培養(yǎng)和發(fā)展.

解析幾何是考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平和運算能力高低的重要載體之一.解析幾何試題對運算能力的要求高,對學(xué)生而言,代數(shù)運算是主要攔路虎之一.數(shù)學(xué)運算并不僅僅是一種能力,更是一種核心素養(yǎng),它是能力、思維品質(zhì)和情感態(tài)度的綜合體.學(xué)生在鍥而不舍的學(xué)習(xí)過程中,把握解析幾何中運算的特點,理解概念,把握本質(zhì),用數(shù)學(xué)思想方法指引運算的目標(biāo)和程序,就能簡化運算,培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).