探索一類與圓錐曲線焦點弦有關的定值問題

山東省寧陽縣復圣中學 (271400) 張志剛

1 案例呈現

(1) 求雙曲線C的方程;

(2) 過雙曲線C的右焦點作直線l(與x軸不垂直)與曲線C交于M,N兩點,線段MN的垂直平分線交x軸于點P,是否存在實常數λ,使得|MN|=λ|PB|?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

本題考查雙曲線的標準方程、直線與雙曲線的位置關系等內容,突出考查學生的數學運算、數學抽象、邏輯推理等核心素養,以及綜合應用所學知識分析問題和解決問題的能力.試題立意高遠深邃,構思別出心裁,結構清晰明朗,解法活潑靈動,充分體現了多層次、高落差的素養導向,堪稱一道有豐富內涵和推廣價值的經典試題.

2 案例解答

思路一 利用通用的弦長公式表示弦長

思路二 利用雙曲線焦點弦|MN|=|e(x1+x2)-2a|表示弦長

解法4：(點差法、選斜率k為參數)由題意設

解法6：當M,N兩點位于雙曲線同一支時,不妨設M,N位于雙曲線右支上,設雙曲線的右焦點B(3,0)到右準線的距離為p,MN與x軸的夾角為θ(0<θ<π).

3 問題推廣

本結論證明方法較多,例如上述解法6,下面再類比解法2(反設直線)給出證明.

類比雙曲線,橢圓和拋物線有同樣結論.

將命題進一步推廣即有結論4.

本結論揭示了圓錐曲線的焦點弦、焦點弦的中垂線與坐標軸交點二者之間的緊密聯系,得到了與焦點弦長有關的一個定值結論.

4 應用舉例

(1)求橢圓W的方程;

例2 (2022年10月全國C8名校協作體聯考第21題)已知圓A:x2+y2+6x+5=0,直線l(與x軸不重合)過點B(3,0)交圓A于C,D兩點,過點B作直線AC的平行線交直線DA于點E.

(1) 證明:||EB|-|EA||為定值,并求點E的軌跡方程;

(2) 設E點的軌跡為C1,直線l與曲線C1交于M,N兩點,線段MN的垂直平分線交x軸于點P,是否存在實常數λ,使得|MN|=λ|PB|?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

“以問題為載體,以知識為基礎,以思維為主線,以能力為目標,全面考查學生的學習潛能”仍然是當前高考命題的一個重要方向.在學習中我們要充分挖掘試題所蘊含的豐富教學資源,以試題研究為主陣地,利用問題的相似性和知識的系統性,我們可以把與此相關的問題進行歸納推理,以期對其一網打盡.