基于坐標思想求解一道向量質檢試題

福建省漳州市漳浦第一中學 (363200) 曾建東

坐標思想作為貫穿高中數學的一種重要思想,在歷年的高考中均著重考查,它體現著數形結合的思想,從幾何和代數兩個方面體現著數學的無窮魅力.基于坐標思想的引領,本文給出廈門市2023屆高三下學期第二次質量檢測第7題的一個較為簡潔的求解,旨在展示該思想在問題求解中的強大作用.

下面是命題組給出的參考解答.

圖1

注意到△ABC為銳角三角形,一個自然的想法是:將△ABC中的某個銳角補成直角,在此基礎上,對問題進行求解.結合AC=2AB=2這個條件,可以嘗試將∠BAC補為直角.

圖2

評析：上述求解過程,充分利用了“圓O為銳角△ABC的外接圓”這一條件,將∠BAC補為直角,通過建系,將題設條件坐標化,通過坐標的運算,避免了繁雜的條件轉化與動點位置分析,實現了問題較為簡潔的求解,彰顯了坐標思想在向量問題求解中的強大威力.

基于坐標思想引領數學解題,學生需要從幾何問題的數量與數量關系中抽象出變量與變量之間的關系,從問題的具體背景中抽象出一般規律和結構,論斷幾何問題能夠坐標化為代數問題,在這個過程中,學生的數學抽象核心素養能夠得到很好的培養.在幾何條件轉化為點與向量的坐標過程中,學生需要收集數據,整理數據,提取信息,在這個過程中,數據分析核心素養能夠得到很好的培養.在坐標化后的代數問題求解中,學生需要理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果,在這個過程中,學生的數學運算核心素養能夠得到很好的培養.