例談主元法在多變量函數問題中的運用

福建省南安第一中學 (362300) 盧 陽

復雜的函數中一般含有常量、變量、參數等多個量.解題時常選某個處于突出的、主導地位的量作為研究對象,以此為主線來分析、解決問題,我們稱之為主元法.在某些情況下,按照解題經驗或思維定勢來確定主元,可能會導致問題復雜化.此時,若能改變視角,重新選擇主元,往往會收到柳暗花明的效果.另外,若題目中幾個變量處于平等對稱地位,不知從何下手,便可指定其中一個量為主元,進而繼續研究.[1]本文舉例說明.

一.變換主元,另眼看題

分析：本題有三個變量a,x,k,通常情況下把x當成主元,但是此時函數很復雜,不易處理.不妨轉變視角,以a為主元,函數變為易于研究的二次函數.

評析：本題有三個變量,按照思維定式,選x為主元,函數不易研究.如果轉換角度,以a為主元,函數研究起來自然順暢.主元分析的掌握程度能夠體現學生對函數概念的理解,以及用辯證的眼光去看待問題和解決問題的思維能力,解題過程中考查學生的邏輯推理與數學運算等核心素養.[2]

二.委以重任,指定主元

分析：本題有兩個變量x,y,觀察所求的代數式形式,指定y為主元進行解題更為方便.

分析:從函數角度來看,此題含有三個變量,地位平等,若不選擇主元則不知如何研究,不妨選x1為主元,對其委以重任.

評析：例2、例3中的變量地位相當,解題時不知那個變量是著力點,不妨選擇其中一個變量指定其為主元,剩下變量為常量,這樣便抓住了主要矛盾,減少學生對難題的恐懼.解題時,主元法發揮了消元的作用,可謂精彩.

三、各元牽制,使用不當

分析：此題是雙變量問題,可能會選擇x1,x2中的一個為主元進行解題.但與前幾例不同,題中兩元并不獨立.

又因為(x1-1)lnx1-a(x1+1)=0,

評析：此題中兩元存在x1x2=1的關系,因此各元之間不滿足“無牽無掛”的前提條件,而有關系進行制約,因此每一步的取等條件可能不符合兩元的等量關系,故不可使用主元法.應該利用兩變量的等量關系進行消元,進一步轉化為單變量函數問題.

由上述實例可見,常量與變量是相對的,兩者在一定條件下可以互相轉換.涉及多變量函數問題時,要敢于打破常規,從多個變量中選擇合適的主元著重使力,便可以從模糊紛亂的思緒中找到堅定的方向,撥開云霧見青天.主元法視野廣闊,不僅能夠很好地考查學生的創新意識和邏輯思維能力,也能培養學生在復雜開放的情境下解決問題的勇氣與能力,值得讀者認真品味.[3]當然,任何方法都不是萬能的,使用時需要考慮主元的范圍是否已知以及各元之間是否存在牽制關系.