追求自然聯想的解題探索
——以一道二元最值問題的多角度探究為例

廣東省廣州市藝術中學 (510060) 吳景峰

在解題教學中,試題的解法應追求自然、樸實,在滲透通性通法的同時,往往還可通過一題多解,讓學生做一題,則會一類,通一片.本文以佛山市高一統測的一道二元最值問題為例,闡述如何開展自然聯想的解題教學,供讀者參考.

試題已知a,b為正實數,且ab+2a+b=16,則( ).

A.ab的最大值為8 B.2a+b的最小值為8

C選項.由ab+2a+b=16可得(a+1)(b+2)

A選項題源是數學新教材必修第一冊第58頁第5題:若正實數a,b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍.B、C選項均是其變式,此處采用均值不等式求解,是學生最自然想到的方法之一,也是重點方法.另外,通過ab+2a+b=16解出用a表示b,或用b表示a,代入目標式轉化為一元最值問題,這也是常用的方法,體現降維思想,此法在D選項有體現,此處不對A、B、C選項展開論述.本題答案是ABD,以下著重對D選項進行探究.

點評：降維是自然的思想,將二元化一元,當一元問題遇到困難,突破口往往是換元法,把目標式轉化為適用于均值不等式的結構,從而求出目標式的最小值.

點評：既然能“雙換元”求解,則可嘗試在不換元的情況下直接構造目標式中的倒數形式,再因式分解進行構造,求解問題.方法2、3、4都是受方法1的啟發,通過不同角度的換元,沿著均值不等式構造路線進行聯想得到的方法.

點評：接著方法5中分母之和為常數,可嘗試配湊出“1”,回到均值不等式的構造路線對問題進行求解.

點評：由方法5的權方和不等式,進一步聯想到柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(當且僅當ad=bc時,等號成立)的二維形式,由此可回顧由柯西不等式推導權方和不等式的過程,就是方法7的構造思路,此思路與方法6有異曲同工之妙.

點評：方法9是主元法,也可用b為主元,此法同樣適用于A、B、C選項,屬于一個通性通法,它不同于前面的所有方法,可單獨作為一個方法體系.

本文通過一題多解,自然探索和聯想了十三種方法,體現了知識的普遍必然性.考慮到高一學生的數學現實,本文沒對導數、高觀點角度的方法展開論述.類似的變式題目還有很多,如2020、2022年新高考2卷第12題多選題、2017年山東文科卷第12題填空題等,在解題教學中,追求自然聯想解題探索,拓展解題思路,達到高效復習的效果.