例析抽象函數問題的特殊化思想求解策略

福建省漳州實驗中學 (363000) 方細賢

在導數及其應用的客觀題中,有一類不給出具體的函數解析式,只給出函數f(x)滿足的一些條件,需根據這些條件,探究f(x)所具有的性質的題目.此類問題能夠全面考查同學們對函數的概念和性質的理解,但因為“抽象”,很多同學對這類問題感到茫然,找不到解題突破口.

基于特殊化思想,我們可以嘗試,通過構造具體函數滿足題設要求,再從具體函數出發對問題進行求解,以規避繁雜的轉化過程,優化整個解題過程.筆者通過總結,歸納出應用特殊化思想求解抽象函數問題的策略:羅列出抽象函數滿足的所有條件;根據條件的結構特點,嘗試以簡單初等函數(指數、對數、冪函數、三角函數等)為基本素材,經過適當的組合(加、減、乘、除、復合)構造出具體函數,從而對問題進行分析求解.

本文通過幾個典型例子,闡述上述策略在求解抽象函數問題中的應用.

1、將抽象函數特殊化為常數函數

A.(-∞,2)B.(1,+∞)

C.(-∞,1)D.(2,+∞)

2、將抽象函數特殊化為一次函數

A.(0,2) B.(2,+∞)

3、將抽象函數特殊化為二次函數

例3 (2021屆重慶市高三數學第一次診斷第8題,單選)已知定義在R上的可導函數f(x)的導函數為f′(x),f(x)=f(-x),當x>0時,f′(x)>2x,則關于x的不等式f(2-x)-f(x)>4-4x的解集為( ).

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,+∞)

C.(-∞,1) D.(-1,1)

分析：本題若正面求解,需要通過f′(x)>2x構造函數F(x)=f(x)-x2,將不等式f(2-x)-f(x)>4-4x變形為F(2-x)>F(x),利用F(x)的單調性和奇偶性得到|2-x|>|x|,得到x<1.整個過程思維量較大,基于特殊化思想,結合題設條件,我們可以嘗試令f(x)為某個常見的函數.

解析：函數f(x)滿足條件:①f(x)=f(-x);②當x>0時,f′(x)>2x.由條件f(x)=f(-x),得f(x)為偶函數,嘗試令f(x)=ax2+c.當x>0時,f′(x)>2x,得2ax>2x,只需a>1即可,特別地,取f(x)=2x2.當f(x)=2x2,不等式f(2-x)-f(x)>4-4x即2(2-x)2-2x2>4-4x,化簡得4x<4,解得x<1,排除其他三個選項,故選C.

4、將抽象函數特殊化為三角函數

例4 (2021年全國新高考Ⅱ卷第8題,多選)設函數f(x)的定義域為R,且f(x+2)為偶函數,f(2x+1)為奇函數,則( ).

C.f(2)=0 D.f(4)=0

分析：正面求解本題需要分別通過f(x+2)為偶函數,f(2x+1)為奇函數,得到相關的兩個等式,再將兩個等式通過代換,進行關聯,再得到第三個等式,在此基礎上得到f(x)的對應性質,實現問題的求解.這樣的求解過程,思維量加大,大部分學生難以完成.由f(x+2)為偶函數,得f(x)圖象關于x=2對稱,由f(2x+1)為奇函數,得f(x)圖象關于(1,0)對稱,考量同時具有軸對稱和中心對稱的函數,自然能夠聯想到將f(x)特殊化為某個三角函數.

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

A.-3 B.-2 C.0 D.1

分析：本題的常規解法是通過計算特殊值,再通過解析式的變換,求解得到函數f(x)周期,再借助周期及前6個函數值,求得最終的結果,整個過程思維量較大,需要學生有較強的恒等變換能力.關注到本題題設條件具有一般性,但是結果具有恒定性,關注題設條件中f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)的模型特點,與2cosxcosy=cos(x+y)+cos(x-y)這一關系式結構相似,通過類比,可嘗試將f(x)的表達特殊化為某個余弦函數.

基于特殊化思想,通過構造具體函數,實現了一類抽象函數問題的輕松求解,彰顯了數學思想在解題過程中的引領作用.在日常解題過程中,老師們應引導學生嘗試換一個角度去思考問題,可能會對問題有更深刻的認識,獲得不一樣的學習體驗.