一道與斜率和積關聯的定值定點問題溯源與推廣

廣東省惠州仲愷中學 (516229) 陳偉流 黃 培

作為解析幾何中的經典知識背景,“手電筒模型”內容在近年的全國高考試題中頻繁亮相.試題通常以斜率和積為定值,直線過定點或有定斜率的呈現形式靈活有序地在條件和結論進行合理編排,以熱點和難點的試題定位吸引了一線師生和專家學者的廣泛關注.

文[1]中筆者以定點在圓錐曲線上為例,探索出在斜率和積為定值的前提下,動直線有定斜率或過定點的屬性;文[2]以圓錐曲線的右焦點為例,全面論證雙弦中點所在直線過定點的有關命題及其逆命題.在此基礎上,筆者從2023屆汕頭一模的解析幾何試題出發,經歷推理論證,進一步得出雙弦中點所在直線有定斜率或過定點的相關性質.

1 試題再現

如圖1,已知E(m,n)為拋物線x2=2py(p>0)內一定點,過E作斜率分別為k1,k2的兩條直線,與拋物線交于A,B,C,D,且M,N分別是線段AB,CD的中點.

圖1

⑴若m=0且k1k2=-1,求△EMN面積的最小值;

解：⑴(S△EMN)min=p2(過程略).

⑵設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立

評析：試題以雙直線與拋物線的位置關系為載體,因試題中涉及的定點、直線、曲線等參數過多,著重考查運算求解,邏輯推理,數學建模能力,體現了以數學運算,邏輯推理,數學抽象等核心素養為測評導向的命題特點;同時以兩弦中點所在直線為研究對象,既反映對解析幾何中大量必備知識的考查,又打破了常規高考試題的命題套路,充分體現“四翼”(基礎性、綜合性、應用性、創新性)的鮮明特點,強調新時代高考中知識融會貫及綜合運用等方面的重要性,傳達出關注學生從“解題”到“解決問題”的學科素養的的培養理念,雙向引導師生在高考備考中加強教學一體,教考銜接的新方向.

2 背景溯源

經歷上述定點問題的推理論證可知:無論定點E在拋物線內部或外部,均只影響直線MN所過定點的縱坐標,且直線MN的斜率只與兩直線的斜率和有關.經筆者深入探究,有

命題2 已知E(m,n)為拋物線x2=2py(p>0)內(或外)一定點,過E作斜率分別為k1,k2的兩條直線,與拋物線交于A,B,C,D,且M,N分別是線段AB,CD的中點,若k1k2=λ(λ≠0),則直線MN過定點(0,n-pλ).

3 縱向深化

若改變拋物線的開口方向,則上述命題在新的幾何載體中是否仍有一致性?以拋物線y2=2px(p>0)為例,經筆者探究,有

命題4 已知E(m,n)為拋物線y2=2px(p>0)內(或外)一定點,過E作斜率分別為k1,k2(k1k2≠0)的兩條直線,與拋物線交于A,B,C,D,且M,N分別是線段AB,CD的中點,若k1+k2=λ(λ∈R),則直線MN過定點.

證明：設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立

命題5 已知E(m,n)為拋物線y2=2px(p>0)內(或外)一定點,過E作斜率分別為k1,k2的兩條直線,與拋物線交于A,B,C,D,且M,N分別是線段AB,CD的中點,若k1k2=λ(λ≠0),則直線MN過定點.

證明：在②式中令y=0得x=-t1[p(t1+t2)-n]+pt12+m-nt1) =m-pt1t2=m-pλ,故直線MN過定點(m-pλ,0).

可見,開口向上與向右的拋物線在定點或定斜率上的命題上有著前后呼應的關聯性,充分體現了數學內在知識蘊含的對稱美、和諧美、簡潔美和統一美.

4 橫向推廣

將拋物線的載體背景進一步類比遷移到圓錐曲線體系,經筆者深入探究,有

證：設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立

命題10,11,12與橢圓背景中的證明相似,故從略.

5 反思回顧

命題1到命題12的表述均是以斜率和積為定值作條件,以直線過定點或有定斜率為結論,若將其在條件和結論上重新排列,經筆者研究,得到的逆命題依然成立,故上述命題在邏輯深度上可進一步為概括闡述為充要條件,此處不再贅述.

隨著新課程標準在教學指導中的穩步推進及“三新”背景下課程改革的不斷實施,高考試題命制已從能力立意轉變為素養導向,凸顯數學核心價值的引領,關注學生對所學知識的融會貫通及綜合運用,注重從解題到解決問題等思維品質的培養,這無疑給廣大一線師生的備考工作提出了不小的挑戰.所以身為一線教師,要研透,吃透教材資源及經典試題,從專家學者的高度明晰試題命制的底層邏輯,才能以高觀點的思想正面引導師生的教與學,時刻提升學生對數學本源,核心概念等本質內容掌握效果,從而帶領學生跳出題海,完成高質量的備考工作,在師生解題,研題,賞題的課堂中培育好學生的核心素養.