以知識整合視角看一道解幾高考題

云南省昆明市第三中學 (650500) 俞 綱

云南省會澤一中文淵中學 (650000) 徐天祥

新高考著重考察學生靈活運用知識解決問題的能力,在“反刷題,反套路化”方向的指引下,我們要重視知識的變通使用與綜合運用.對于高考題的研究不僅要會做,還要能認識問題的本質,更要會對問題做變式推廣.若能把多個知識融合使用,就能通過少量做題提升數學思維能力.本文整合數列知識把2022年高考全國甲卷解析幾何題進行變式研究與結論推廣.

原題再現(2022年全國甲卷理20文21題) 設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點.當直線MD垂直于x軸時,|MF|=3.

(1)求C的方程;(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當α-β取得最大值時,求直線AB的方程.

思路分析：第(1)問易得C的方程為y2=4x.

本質分析：上述做法的關鍵是能推導出kMN與kAB的等量關系,該結論具有一般性嗎?其實對于拋物線C:y2=2px(p>0),M(x1,y1),N(x2,y2)為其上兩點,則一定能得到以下兩個常用結論:

結論2：若直線MN過點D(n,0)(n>0),直線MN的方程可設為x=my+n,與C聯立得y2-2pmy-2pn=0,則必有y1y2=-2pn(*).反之,若直線交拋物線C于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點,且y1y2=-2pn,則該直線必過點D(n,0).

問題變式拋物線C:y2=4x,A1(1,0),A2(2,0),A3(3,0),A4(4,0)為x軸上四個定點.如圖1,過A1作直線l交拋物線于M1、N1兩點,射線M1A2,N1A2與C的另一個交點分別為M2,N2;射線M2A3,N2A3與C的另一個交點分別為M3,N3;射線M3A4,N3A4與C的另一個交點分別為M4,N4.求直線M1N1與M4N4的斜率關系.

圖1

變式思考：上述解法結論與拋物線方程有關嗎?與點列A1,A2,A3,A4有何關系呢? 我們可以進一步做一般性探究.

一般性研究拋物線C:y2=2px(p>0),點列{An(an,0)}(n∈N*)為x軸正半軸上n個依次向右的定點.直線M1N1過點A1,交拋物線C于M1,N1;射線M1A2,N1A2與C的另一個交點分別為M2,N2;射線M2A3,N2A3與C的另一個交點分別為M3,N3; …;射線Mn-1An,Nn-1An與C的另一個交點分別為Mn,Nn,如圖2是n=6時的示意圖.記直線M1N1,MnNn的傾斜角分別為α,β.當α-β取得最大值時,求直線MnNn的斜率.

圖2

解：記Mn(xn,yn),Nn(sn,tn),由直線M1N1過點A1;直線M1M2,N1N2過點A2;直線M2M3,N2N3過點A3;…;直線Mn-1Mn,Nn-1Nn過點An.

系列1:y1t1=-2pa1①;y1y2=-2pa2②;y2y3=-2pa3③;y3y4=-2pa4④;y4y5=-2pa5⑤;…

系列2:y1t1=-2pa1;t1t2=-2pa2;t2t3=

-2pa3;t3t4=-2pa4;t4t5=-2pa5;…

tan(α-β)取到最大,則α-β最大.

上述解法就是緊緊抓住兩個結論的本質,進行坐標間的多次代換得到.觀察該結論發現,其結果與拋物線方程無關,只與點列的坐標有關系.

進一步我們還可以探究得到如下兩個性質:

性質1當直線M1N1繞點A1任意旋轉時,直線MnNn與x軸的交點為定點.

證明仿性質1,此略.

利用以上兩條性質,我們可以用更簡潔的幾何對象揭示直線M1N1與MnNn的關系,即直線M1N1經過多個定點迭代產生的直線MnNn等效于M1N1通過一個定點T即可得到.原題一般性探究中繁雜的題設條件又可等效于原高考題所示的簡潔結構,做法也與高考題完全一致即可.

進一步利用直線M1Mn與N1Nn交于定點T或直線M1Nn與N1Mn交于定點T這兩條性質,根據圓錐曲線極點與極線定義,我們還可以推得直線M1N1與MnMn若相交,則交點必定在一定直線上,而該直線其實就是T點對應的極線.