一類最大角問題的研究

貴州省凱里市第一中學 (556000) 賈士偉

1 問題提出

我校某次高三模擬考試理科第16題如下:

如圖1,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為2,E,F,G分別為AA1,CC1,DD1的中點,有下列結論:

圖1

①EB∥平面A1GFB1;

其中正確的是________.(填寫所有正確結論的代號)

相對來說,這道題只有第④個命題的真假判斷復雜,在參考答案中直接取AB的中點Q,并直接指出當|PQ|最小時,θ最大,然后詳細給出了求|PQ|min的方法.事實上,這一小問的難點不是求|PQ|min,而是為什么當|PQ|最小時,θ最大.

2 問題解決

要解決上面的問題,只需完成下面兩個結論的證明.

結論1 給出定線段AB,定直線l,AB∥l,動點P∈l,則當|PA|=|PB|,∠APB取得最大值.

分析：這個結論通過作圖,感覺結論顯然成立,但如何證明,筆者嘗試用正余弦定理、基本不等式、解三角形等知識進行證明,又嘗試用解析幾何方法證明,均難以實現,最后用初中知識得到下面的方法.

證明：如圖2,過點A,B作圓O,使得圓O與直線l相切于點C,在l任取一點P,點P異于點C,直線PB交圓O于點P',連接P'A,則∠ACB=∠AP'B>∠APB,問題得證.

圖2

結論2 給出定線段AB及其中點Q,定平面α,AB∥平面α,動點P∈平面α,則當|PQ|最小時,∠APB取得最大值.

圖3

3 延伸思考

3.1 思考1

在結論1中,如果把條件“AB∥l”換成“AB⊥l,且線段AB位于直線l一側”,如何探尋∠APB的最大值?

首先這個問題是常見的,例如,人教A版必修5第113頁B組第2題:

如圖4,樹頂A離地面am,樹上另一點B離地面bm,在離地面cm處的C處看此樹,離此樹多遠時視角最大?

圖4

這道題可以通過兩角差的正切公式加基本不等式來解決:

圖5

3.2 思考2

在結論1中,如果把條件“AB∥l”換成“線段AB位于直線l一側”,如何探尋∠APB的最大值?這個問題如果按照思考1的思路定量分析,需要引入很多參數,而且推導過程也極其復雜,現在按照結論1的思路定性分析,碰到具體問題再具體分析即可.

如圖6,過點A,B作圓O,使得圓O與直線l相切于點C,在l任取一點P,點P異于點C,直線PB交圓O于點P',連接P'A,則∠ACB=∠AP'B>∠APB,問題得證.

圖6

3.3 米勒定理

可以發現,思考2解決的方法和結論1的完全相同,在網上搜索最大角問題時,發現上面的結論其實就是米勒定理,不過網上的內容基本上是與初中數學有關,事實上這個最大角問題在高考、模考、高中數學競賽中也常常出現.下面將米勒定理的內容及證明敘述如下:

已知點A,B是角MO'N的邊ON上的兩個定點,點P是邊OM上一動點,則當且僅當ΔABP的外接圓與邊OM相切于點C時,∠APB最大.

證明：如圖7,過點A,B作圓O,使得圓O與直線OM相切于點C,在OM任取一點P,點P異于點C,直線PB交圓O于點P',連接P'A,則∠ACB=∠AP'B>∠APB,問題得證.當∠APB最大時,P、C兩點重合,OC2=OA·OB.

圖7

有了米勒定理,不但可以定性分析∠APB最大值問題,還可以定量分析得到P的確定位置.

4 反思

每位教師由于學習經歷、工作背景、興趣愛好不同,所以在提升專業素養時,提升的方向、提升的深度各有不同.我們應該從自己的教學實踐中發現問題、提出新問題,在發現和解決問題中,提升能力、拓展視野.