一道教材課后習題的推廣與應用

北京師范大學貴陽附屬中學 (550081) 曹 瑩 李鴻昌

1 課本習題

2019年人教A版《數學必修第一冊》第87頁第13題如下:

我們知道,函數y=f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為奇函數,有同學發現可以將其推廣為:函數y=f(x)的圖像關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+a)-b為奇函數.

(1)求函數f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心;

(2)類比上述推廣結論,寫出“函數y=f(x)的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為偶函數”的一個推廣結論.

2 習題探究

(2)函數y=f(x)的圖象關于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+a)為偶函數.

點評：這道課本習題指出了函數的對稱性與其奇偶性的關系,通過圖象的平移變換是很好理解的.總結可得如下結論:

①函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)對稱?函數y=f(x+a)-b為奇函數?f(x+a)-b=

-[f(-x+a)-b]?f(x+a)+f(a-x)=2b.

②函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱?函數y=f(x+a)為偶函數?f(a+x)=f(a-x).

3 習題推廣

3.1 三次函數圖象的對稱中心

本習題涉及到三次函數圖象的對稱中心,經過探究得到如下性質.

點評：注意到,三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的拐點(使二階導數f＂(x)=0的點)正好是它的圖象的對稱中心.

除了三次函數的圖象外,還有哪些函數的圖象也具有對稱中心呢?經探究,發現某些分式函數、指數型函數和對數型函數的圖象也具有對稱中心.

3.2 分式函數圖象的對稱中心

3.3 指數型函數圖象的對稱中心

證明：因為f(loga|t|+x)+f(loga|t|-x)

例如,函數f(x)=ax-a-x的圖象關于坐標原點對稱.

3.4 對數型函數圖象的對稱中心

4 應用

f(x)的圖象( ).

A.關于點(2,2)對稱B.關于點(1,1) 對稱

C.關于直線x=1 對稱D.關于直線x=2對稱

A.0B.6C.12D.24

A.f(x)在(2,+∞)上單調遞增

B.f(x)在(2,+∞)上單調遞減

C.曲線y=f(x)是軸對稱圖形

D.曲線y=f(x)是中心對稱圖形

A.y=f(x)的圖象關于點(2,0)對稱

B.y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱

C.f(x)在(0,4)上單調遞減

D.f(x)在(0,2)上單調遞減,在(2,4)上單調遞增