《數學通訊》577問題的多解探究及變式推廣

貴州師范大學數學科學學院 (550025) 徐鳳旺 劉天明 成 敏

1.問題呈現

這是《數學通訊》2022年第11期問題解答577問題的一道不等式證明題,可以看出該不等式的條件和結論結構對稱,具有數學的美感,文[1]中主要是通過三元基本不等式得到證明,讀后深受啟發.本文擬對該不等式的證明方法、變式及推廣做進一步的探究,與大家一起分享.

2.問題解析

評注：此證法通過兩次利用基本不等式的推廣,最后結合“a+b+c=1”,使得不等式得證.

評注：此證法通過觀察不等式的結構進而構造函數,結合函數的凹凸性與琴生不等式,使得不等式得證.

評注：此證法將不等式問題轉化為函數問題,利用函數切線的性質,使得不等式得證.

3.問題變式

分析：此變式是通過改變問題中的分母的冪得到的,證明需要用到權方和不等式和基本不等式,下面給出證明.

分析：此變式是通過改變問題中分母的結構,將問題中分母的兩個多項式拆開而得到,通過權方和不等式即可得證,證明思路與上述變式1的證明思路類似.

分析：此變式通過改變問題中分母的冪得到,保持形式不變,證明方法同上述證法1.

4.問題推廣

分析：此推廣將問題中的條件式子的結果從“1”推廣到“t”.

分析：此推廣是在推廣1的基礎上將未知數個數從“3”元推廣到“4”元.

分析：此推廣是在推廣2的基礎上將未知數個數從“4”元推廣到“n”元.

分析：此推廣是在推廣3的基礎上將各項式子的分子的系數“1”和分母所含的常數 “1,2”分別推廣到“γ”和“μ,β”.

分析：此推廣是在變式1的基礎上,將“3”元推廣到“n”元,同時將分母所含的常數“1,2” 推廣到“μ,β”.

分析：此推廣是在推廣4的基礎上,改變整個分母的冪得到.

分析：在變式3的基礎上,將條件的結果從“1”變到“t”,分子的“1”變為“γ”,同時將“3”元推廣到“n”元.

上述推廣除了推廣5的證明需要用到權方和不等式和基本不等式外,其余推廣用基本不等式(的推廣)均能得到證明,證明思路與上述證法1是類似的,這里給出推廣5和推廣7的證明,其余推廣的證明不再敘述.

推廣7的證明：由基本不等式的推廣得