從一道模擬題探尋最小二乘法的簡證

江西省贛州中學 (341000) 廖志勇 賴小恬

在線性回歸分析中,教師對學生的要求就是套用公式求解線性回歸方程,究其原因:一是課本推導的過程難以理解;二是對考查的要求局限公式的簡單應用,這樣往往忽略線性回歸方程公式生成的過程,以及公式變形和非線性擬合的困難,學生在解題過程因不明白其原理導致在知識的應用停留在簡單和膚淺的層面.廈門市2023屆高三畢業班第二次質量統計概率檢測試題,為我們教學警示,應該更加明白:高考數學關注數學的本質,強調理性思維的價值,注重數學的基礎性,突出關鍵能力考查,應該引導學生對數學概念、方法有更深刻的認知,在基礎性、綜合性、應用性、創新性等方面都進行了全面深入的考查.

一、試題呈現

(2023屆廈門市高三畢業班第二次質量檢測)移動物聯網廣泛應用于生產制造、公共服務、個人消費等領域.截至2022年底,我國移動物聯網連接數達18.45億戶,成為全球主要經濟體中首個實現“物超人”的國家.圖1是2018-2022年移動物聯網連接數W與年份代碼t的散點圖,其中年份2018-2022對應的t分別為1-5.

圖1

(1)根據散點圖推斷兩個變量是否線性相關.計算樣本相關系數(精確到0.01),并推斷它們的相關程度;

附:樣本相關系數r=

二、最小二乘法簡證

三、等式恒等化簡

四、試題求解

著名數學家陳景潤先生在談起數學解題時說過:“題有千變,貴在有根”.題根是一個題系中的源頭,是一個題群中的典例,把握住了一個題根,叩源推委,通過平時練習和反思,積累做題方法和技巧,便能尋覓解決此類問題的“金鑰匙”.最小二乘法思想的理解和證明是處理回歸分析的題根,只有真正理解其原理才能靈活應用.