充分把握定義,正確區分求解
——以2023年數學新高考Ⅰ卷第6題為例

廣東省佛山市南海區獅山石門高級中學 (528225) 白慶全

直線與圓的位置關系是平面解析幾何中的一個重要知識點,成為高考中非常常見的一類基本考點.涉及直線與圓的位置關系的綜合應用問題,其巧妙融合入點、直線、圓、角等相關元素之間的聯系與應用,成為高考命題的一大熱點,常考常新,創新點多,以基礎為基點,借助概念拓展、公式應用等多視角、多層面展開,注重數學基礎知識、數學思想方法和數學能力等方面的考查.

1.真題呈現

(2023年新高考Ⅰ卷·6)過點(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,則sinα=( ).

2.真題剖析

此題以直線與圓的位置關系為問題場景,利用圓外一點向圓引兩條切線,結合兩切線的夾角的正弦值的求解來設置問題.巧妙將平面解析幾何與三角函數的知識加以有機鏈接,實現高考“在知識交匯點處”設計命題的指導精神.

2.1 錯誤解析賞析

題目比較熟悉,難度不大.但在具體解答過程中,一般答案正確,過程會出現錯誤,具體解答過程如下:

2.2 錯誤根源辨析

3 真題破解

3.1 解析幾何思維

圖1

解后反思：根據圓的切線的性質確定切線長,回歸直角三角形的圖形直觀,借助三角函數的定義求解相應的三角函數值,并通過倍角公式的應用來進一步分析與求解,結合所求角與兩條直線的夾角α之間的關系,利用誘導公式加以變形與轉化.解答過程中,要注意所求的角∠APB與兩條直線的夾角α之間的聯系,這也是問題的關鍵所在.

解后反思：根據題意設出對應的切線方程,利用圓的切線的性質并結合點到直線的距離公式構建關于切線斜率的二次方程,利用韋達定理,結合兩直線的夾角公式加以求解,并通過同角三角函數基本關系式來分析與求解.兩直線的夾角公式在現行教材中沒有出現,往往是作為課外閱讀提升的知識點加以介紹,供一些有興趣的學生理解.

3.2 解三角形思維

解后反思：根據圓的切線性質確定切線長,回歸平面圖形的本質,在兩個對角為直角的平面四邊形中,借助兩切線的連線在兩個不同的三角形中,利用余弦定理或正弦定理等來合理構建關系式,結合誘導公式的應用以及平方關系來轉化與求解.表面上是解析幾何問題,實質通過解三角形思維來處理,思維巧妙,方法新穎.

4.變式拓展

為了進一步正確識別所求的角∠APB與兩條直線的夾角α之間的聯系,避免出現解析過程不完備而答案正確的結果,可嘗試通過以下變式問題來達到目的.

變式1 過點(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,則cosα=________.

變式2 過點(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,則tanα=________.

5 教學啟示

直線與圓是平面解析幾何中最簡單的基本圖形,又是初中平面幾何中的基本圖形之一.直線與圓兩者之間的位置關系的綜合應用問題,有效鏈接起初中與高中的相關知識,實現眾多知識點之間的交匯與融合,同時又涵蓋函數與方程、數形結合、分類討論等基礎數學知識與基本數學思想等,一直成為各級各類考試的必考內容和熱點內容之一,要加以系統理解與掌握,重視基礎,重在平時.

借助直線與圓的位置關系,可進行平面幾何直觀操作,也可解析幾何數學運算,對于問題的設置與創新應用都很有益處.特別借助典型高考真題的“一題多解”,發散思維,進一步結合“一題多思”、“一題多變”等探究,可以讓學生解題思維更加開闊,解題思路更加活躍,數學知識的掌握更加熟練,問題的破解更加快速有效,從而全面提高學生的知識水平和思維能力,養成良好的數學品質,培養數學核心素養.