巧思維切入,妙視角變式
——以一道2023年高考題為例

江蘇省西亭高級中學 (226371) 羌 麗

函數及其綜合應用問題一直是歷年高考中的一個重點考查對象,如函數的概念與圖象,基本性質(單調性,奇偶性、周期性、對稱性等),函數的零點及其應用等,呈現方式可以是選擇題或填空題,難度可以是簡答題型,也可以結合奇偶性,周期性,對稱性等綜合考查,難度中等,或者考查函數的零點等相關問題,結合函數的圖象,運用數形結合,難度一般比較大.

1.真題呈現

(2023年新高考Ⅰ卷·4)設函數f(x)=2x(x-a)在區間(0,1)單調遞減,則a的取值范圍是( ).

A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞)

2.問題剖析

此題以含參的復合函數在給定區間上的單調性為問題場景,借助參數的取值范圍的確定來創設問題,難度中等.特別地,函數的基本性質主要包括奇偶性、單調性、周期性、對稱性等眾多相關的基本性質,具體問題設置時,有時單一性質直接考查,有時多個性質綜合考查.而涉及復合函數的基本性質問題,也是高考考查中的一個重點與難點,要加以高度重視.

具體解決此類復合函數的基本性質問題,直接思維就是抓住習慣思維,利用復合函數的基本性質加以應用;而提升思維就是抓住創新思維,利用導數法加以應用;而創造思維就是抓住辯證思維,利用特殊值驗證法加以排除與選擇.眾多的思維視角,都為問題的解決與應用創造更多的機會.

3.真題破解

解后反思：借助常規思維視角,合理分拆題設條件中的復合函數,利用復合函數的單調性,結合指數函數、二次函數的圖象與性質加以綜合,合理構建相應的不等式,進而得以確定參數的取值范圍,這是解決此類問題最為常見的一種技巧方法.熟練掌握基本初等函數的基本性質以及復合函數的性質,是解決問題的理論基礎.

方法2：(導數法)依題函數f(x)=2x(x-a),求導可得f＇(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2,而函數f(x)=2x(x-a)在區間(0,1)上單調遞減,則有f＇(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2≤0在區間(0,1)上恒成立,即2x-a≤0在區間(0,1)上恒成立,可得a≥2,故選D.

解后反思：借助創新思維視角,利用原函數在對應區間上的單調性,轉化為相應的導函數在對應區間上取值的非負(或非正),合理構建對應的不等式,結合不等式的求解以及變量的取值限制,得以確定參數的取值范圍.導數思維是處理函數的單調性問題中比較常用的一種技巧方法,具有較高的應用價值與普遍性,要熟練掌握函數的求導公式以及相關的綜合應用.

方法3：(特殊值驗證法)依題函數(x)=2x(x-a)在區間(0,1)單調遞減,則必滿足f(0)>f(1),即20>21-a,亦即0>1-a,解得a>1,對比各選項加以驗證,只有選項D滿足,故選D.

解后反思：借助特殊值思維視角,是破解選擇題最為特殊的一種技巧方法,也是辯證統一思維的一種具體形式,在一些相關選擇題的應用中有奇效,可以優化邏輯推理,減少數學運算.特殊值法適用于一些題目中含有字母或具有一般性結論等的數學客觀題,主要是通過對問題中的特殊情況的研究來判斷問題的一般性的規律,做到“小題小做”或“小題巧做”,快速實現問題的破解.

4.變式拓展

變式1設函數f(x)=2x(x-a)在區間(0,1)上單調遞增,則a的取值范圍是( ).

A.(-∞,0] B.[-2,0)

C.(0,2] D.[2,+∞)

解析：依題函數f(x)=2x(x-a),求導可得f＇(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2,而函數f(x)=2x(x-a)在區間(0,1)上單調遞增,則有f＇(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2≥0在區間(0,1)上恒成立,2x-a≥0在區間(0,1)上恒成立,可得a≤0,故選A.

變式2設函數f(x)=log2x(a-x)在區間(0,1)上單調遞增,則a的取值范圍是( ).

A.(-∞,-2] B.[-2,0)

C.(0,2] D.[2,+∞)

5.教學啟示

函數中有圖象的翻折變化及對稱變化問題,往往要利用特殊值、函數的奇偶性、單調性,以及極值點、零點,借助極限思想等工具判斷或畫出函數的圖象來求解,這是考查此類函數及其應用問題的重點.此類問題解題的習慣性思維就是問題的“直譯”,進而直接利用與之相關的知識與方法加以分析與應用.本題中的函數單調性就是破解問題的“習慣”,利用復合函數的單調性切入與應用,是解題的基本技巧與策略.而且解題的創新性思維往往是問題的“根本”.一般要利用與之相關的知識、工具等來分析與處理,跳出問題的局限,可以使得問題的解析更加流暢、簡捷.本題中的函數單調性可以轉化為對應導函數在對應區間上取值的非負(或非正)的情境,解題更有優勢.