從直觀想象到思辨論證編制與解答試題*
——以2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第22題為例

福建省泉州第一中學(xué) (362000) 黃寒凝

福建省泉州第五中學(xué) (362000) 楊蒼洲

觀察函數(shù)的圖象特征,通過(guò)直觀感知,可以從中提出各種問(wèn)題,為試題編制提供問(wèn)題情景.然而,由于觀察誤差等,直觀感知所得的結(jié)論,并不一定都是正確的,這就需要通過(guò)演繹推理進(jìn)行操作確認(rèn).因此,試題的命制常常是通過(guò)“直觀感知”提出問(wèn)題,再通過(guò)“思辨論證”保障所提問(wèn)題的科學(xué)性.

一、直觀想象——在圖象中提出問(wèn)題

對(duì)數(shù)函數(shù)f1(x)=lnx和指數(shù)函數(shù)f2(x)=ex是高中階段重要的兩個(gè)基本初等函數(shù).f1(x)與f2(x)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱;f1(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,f2(x)在R上單調(diào)遞增;f1(x)在(0,+∞)上凸,f2(x)在R上下凸.從函數(shù)的圖象趨勢(shì)可以觀察得f1(x)與f2(x)的圖象有兩條公切線,且兩條公切線也關(guān)于y=x對(duì)稱.如圖1所示.由此,可提問(wèn)題1.

圖1

問(wèn)題1 證明:曲線f1(x)=lnx與曲線f2(x)=ex有兩條公切線.

既然f1(x)與f2(x)的圖象有兩條公切線,那么,我們?cè)囍骄恳幌虑悬c(diǎn)的位置.順著問(wèn)題1的思路,可提出問(wèn)題2.

問(wèn)題2 曲線f1(x)=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線與f2(x)=ex也相切.若x0∈[n,n+1)(n∈Z),求n的值.

“逆向思維”往往是提出一個(gè)新問(wèn)題的捷徑.結(jié)合問(wèn)題2探究過(guò)程及結(jié)論,逆向改編,可以提出問(wèn)題3.

這就是2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第22題的命題思路,試題附錄如下:

二、思辨論證——在推理中尋找答案

如何證明或求解上述三個(gè)問(wèn)題呢?

三、結(jié)語(yǔ)

直觀想象是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題,分析問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段,是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).試題的編制與解答常常是從直觀想象到思辨論證的過(guò)程,運(yùn)用直觀想象有助于數(shù)學(xué)的解題與命題.