基于泰勒公式的試題命制手法探析*

福建省廈門市海滄中學 (361000) 李云錦

廈門大學附屬實驗中學 (363123) 林運來

1 問題提出

對于一些比較復雜的函數,為了便于研究,往往希望用一些簡單的函數來近似表達.多項式函數是最為簡單的一類函數,因此,多項式經常被用來近似地表達函數,這種近似表達在數學上稱為逼近.泰勒在這方面做出了不朽的貢獻.[1]

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泰勒公式的本質是將超越函數轉化為多項式函數,而多項式函數的圖象與性質是高中數學學習的重要內容,因而,可以利用多項式函數來研究一些比較復雜的函數.雖然中學階段沒有系統介紹泰勒公式的相關內容,但在近幾年的高考和各地的模擬考試中常常基于泰勒公式來命制與比較大小、不等式恒成立相關的考題,筆者擬通過幾道典型考題探析基于泰勒公式的試題的命制手法,供大家參考.

2 基于泰勒公式的試題命制

2.1 基于泰勒公式命制比較大小的試題

A.a

C.c

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

2.2 基于泰勒公式命制不等式恒成立的試題

例3 已知函數f(x)=ex+cosx+ln(x+1),g(x)=2+2x-ax2,a∈R.

(2)?x≥0,f(x)≥g(x),求a的取值范圍.

3 簡要結語

利用泰勒展開式將超越函數展開成多項式型函數的形式,是高等數學研究超越函數的重要方法之一,泰勒展開式是研究超越函數的重要工具.本文僅從兩個側面談它在命制函數試題方面的作用,并由此給出借助泰勒展開式將某些超越函數展開,通過略去某些項,達到降低超越函數(指、對數函數及三角函數)的繁雜程度,實現降級求解的方法.