基于核心素養(yǎng)的三道導(dǎo)數(shù)試題的命題手法探析*

福建省福清第三中學(xué) (350315) 何 燈

福州教育研究院 (350001) 余小萍

極值點(diǎn)偏移問題以導(dǎo)數(shù)為背景考察學(xué)生綜合運(yùn)用各類知識(shí)和思想方法解決函數(shù)問題的能力,是值得深入探究的課題,更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的好素材.近期,筆者在整理各地市模擬試卷時(shí)發(fā)現(xiàn)一類極值點(diǎn)偏移問題連續(xù)在三個(gè)地市出現(xiàn)(本文中的題1-3),且其中涉及到三角函數(shù),此種不尋常現(xiàn)象引起筆者的關(guān)注,遂進(jìn)行了一些思考,此處整理成文,與同仁交流.

1、識(shí)得廬山真面目——再現(xiàn)模擬試題

題1 (2023屆漳州一中高三第一次階段考試22)已知函數(shù)f(x)=2x-alnx+4a(a∈R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)令g(x)=f(x)-sinx,若存在x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2時(shí),g(x1)=g(x2),證明:x1x2

評(píng)注1：由g(x1)=g(x2)可得a(lnx2-lnx1)=2(x2-x1)-(sinx2-sinx1).

評(píng)注2：由f(x1)=f(x2)得a(lnx2-lnx1)=2(x2-x1)-(sinx2-sinx1),與題1恒等式相同.

評(píng)注3：由f(x1)=f(x2)得-m(lnx2-lnx1)=2(x2-x1)-(sinx2-sinx1),令-m=a,可得與題1相同的恒等式.

2、撥開云霧見天日——分析求解過程

上述三個(gè)試題問題(2)設(shè)問相同,下面僅針對(duì)題3問題(2),給出具體的解析.

解析：不妨設(shè)0

m(lnx2-lnx1)=(2x1-2x2)+sinx2-sinx1.

3、打破砂鍋問到底——探尋命題手法

通過上述對(duì)試題求解的逆向推演,不難管窺命題者的命題手法.筆者將其整理為如下六個(gè)步驟.

步驟一(選取函數(shù)模型u(x)):選擇函數(shù)u(x),使得x∈(0,+∞),有u(x)≥0.題1-3選取的函數(shù)模型u(x)=1-cosx.

步驟二(求積獲得函數(shù)h(x)):令h′(x)=u(x),通過對(duì)u(x)求積分,得到函數(shù)h(x)(以此保證h(x)在(0,+∞)上呈現(xiàn)出單調(diào)遞增).題1-3積分求得函數(shù)h(x)=x-sinx.

步驟三(對(duì)h(x)賦值獲得不等式):h(x)在(0,+∞)上呈現(xiàn)單調(diào)遞增,設(shè)x2>x1,則h(x2)-h(x1)>0.題1-3得到x2-sinx2-x1+sinx1>0.

步驟五(構(gòu)造題設(shè)函數(shù)f(x)):將步驟三與步驟四構(gòu)建的不等式h(x2)-h(x1)>0與|λ|(lnx2-lnx1)>x2-x1相減,得到F(x1)≈F(x2),其中F(x)=x+h(x)-|λ|lnx.對(duì)F(x)增刪某些項(xiàng),得到題設(shè)函數(shù)f(x)(使得f(x1)=f(x2),題1中題設(shè)函數(shù)為g(x)).題1得到題設(shè)函數(shù)g(x)=2x-alnx+4a-sinx(在F(x)=2x-sinx-alnx的基礎(chǔ)上,增補(bǔ)了4a);題2得到題設(shè)函數(shù)f(x)=2x-sinx-alnx(F(x)=2x-sin-alnx,取f(x)=F(x));題3得到題設(shè)函數(shù)f(x)=2x-sinx+mlnx(F(x)=2x-sin+mlnx,取f(x)=F(x)).

步驟六(進(jìn)行合理設(shè)問):為了體現(xiàn)題目的梯度,讓不同程度的學(xué)生都能充分發(fā)揮自己的水平,試題的第一問應(yīng)當(dāng)盡量簡(jiǎn)單(可以討論相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、切線等,或鋪設(shè)問題為第二問的研究埋下伏筆).第二問研究題設(shè)函數(shù)f(x),得到問題:若?x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),求證:x1x2<λ2.題1中問題(1)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性;題2中問題(1)研究題設(shè)函數(shù)f(x)相關(guān)不等式的恒成立求參數(shù)m的取值范圍;題3中問題(1)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.題1-3問題(2)均是驗(yàn)證x1x2<λ2(|λ|=a,-m)恒成立.

4、橫看成嶺側(cè)成峰——命制不同試題

本環(huán)節(jié),筆者嘗試遵循上述六個(gè)步驟,命制兩道相關(guān)試題,以期使讀者對(duì)該類試題的命題流程能夠更深入的理解.

命制題1步驟一(選取函數(shù)模型u(x)):選擇函數(shù)u(x)=1-sinx,顯然當(dāng)x∈(0,+∞),有u(x)≥0.

步驟二(求積獲得函數(shù)h(x)):對(duì)u(x)求積分,得到函數(shù)h(x)=x+cosx.

步驟三(對(duì)h(x)賦值獲得不等式):設(shè)x2>x1,則x2-x1+cosx2-cosx1>0.

步驟四(借助對(duì)數(shù)平均不等式放縮):設(shè)定問題(2)待證不等式形式為x1x2<λ2,得到|λ|(lnx2-lnx1)>x2-x1.

步驟五(構(gòu)造題設(shè)函數(shù)f(x)):將x2-x1+cosx2-cosx1>0與|λ|(lnx2-lnx1)>x2-x1相減,得到F(x1)≈F(x2),其中F(x)=2x+cosx-|λ|lnx,由此可設(shè)定題設(shè)函數(shù)f(x)=2x+cosx-alnx.

步驟六(進(jìn)行合理設(shè)問):問題(1)的設(shè)定類似于題3,研究函數(shù)g(x)=f(x)-cosx的單調(diào)區(qū)間和極值.問題(2)設(shè)定為:若?x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),求證:x1x2

綜合上述命制過程,得到如下新題:

題4 已知函數(shù)f(x)=2x+cosx-alnx.

(1)求函數(shù)g(x)=f(x)-cosx的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)若?x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),求證:x1x2

命制題2步驟一(選取函數(shù)模型u(x)):選擇函數(shù)u(x)=ex-1,可證當(dāng)x∈(0,+∞),有u(x)≥0.

步驟二(求積獲得函數(shù)h(x)):對(duì)u(x)求積分,得到函數(shù)h(x)=ex-x.

步驟三(對(duì)h(x)賦值獲得不等式):設(shè)x2>x1,則ex2-ex1-x2+x1>0.

步驟四(借助對(duì)數(shù)平均不等式放縮):設(shè)定問題(2)待證不等式形式為x1x2<λ2,得到|λ|(lnx2-lnx1)>x2-x1.

步驟五(構(gòu)造題設(shè)函數(shù)f(x)):將ex2-ex1-x2+x1>0與|λ|(lnx2-lnx1)>x2-x1相減,得到F(x1)≈F(x2),其中F(x)=ex-|λ|lnx,由此可設(shè)定題設(shè)函數(shù)f(x)=ex-alnx.

步驟六(進(jìn)行合理設(shè)問):問題(1)設(shè)定考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,故問題(1)要求學(xué)生求解函數(shù)g(x)=f(x)+alnx在x=0處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積.問題(2)設(shè)定為:若?x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),求證:x1x2

綜合上述命制過程,得到如下新題:

題5 已知函數(shù)f(x)=ex-alnx.

(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在x=1處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積;

(2)若?x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),求證:x1x2

評(píng)注5：由上述兩道試題的命制過程觀之,u(x)的表達(dá)式?jīng)Q定了最終題設(shè)函數(shù)f(x)形式.題4-5所取的u(x)都較為簡(jiǎn)單,所以命制出來(lái)的兩道試題的難度都較為適中,若增加選取的u(x)的表達(dá)式的復(fù)雜度,可命制出難度更大的試題,限于篇幅,此處不再舉例說(shuō)明.

5、一葉落知天下秋——提升核心素養(yǎng)

解題是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式和主要內(nèi)容,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題學(xué)習(xí),故數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué).那么,在解題教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?

在試題求解分析環(huán)節(jié),學(xué)生經(jīng)歷了“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出變量與變量之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),進(jìn)而“選擇運(yùn)算方法,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序”,最后“從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題”的過程,無(wú)疑,數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)得到了較好的培養(yǎng)和發(fā)展.

在命題手法剖析環(huán)節(jié),學(xué)生經(jīng)歷了“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出變量與變量之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”,進(jìn)而“從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,收集數(shù)據(jù),整理數(shù)據(jù),提取信息”的過程,無(wú)疑,數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)得到了較好的培養(yǎng)和發(fā)展.

在試題再命制環(huán)節(jié),學(xué)生經(jīng)歷了“分析問題、建立模型,確定參數(shù)、計(jì)算求解,檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型”的過程,無(wú)疑,數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)得到了較好的培養(yǎng)和發(fā)展.