借問題驅動 促知識生成
——以“點到直線的距離”教學為例

江蘇省沛縣中學 (221600) 耿 剛

在日常教學中,很多教師急于求成,習慣直接將現有的知識、經驗等講授給學生,不注重知識生成過程,使得學生很多時候只知其然而不知所以然,影響學生學習能力的提升和思維能力的發展.實際上,教師在教學中應重視引導學生經歷新知識的生成過程,充分挖掘蘊含其中的數學思想方法,幫助學生積累數學活動經驗,掌握數學研究方法,讓學生獲得終身學習能力.筆者以“點到直線的距離”一課為例,談談對生成性教學的一點拙見,供參考.

一、課堂實錄

1、情境引入,以舊換新

師:我們已經學習并掌握了兩點間距離公式及其推導方法,現在請大家結合已有經驗分析這樣一個問題.(教師PPT出示問題)

問題情境:某市風景秀麗、氣候宜人、文化厚重,一年四季都有很多游客前來觀光.為了更好地推動旅游業的發展,政府決定建造一個新的火車站,這個火車站建在哪里才能使火車站和飛機場的旅客往返方便呢?結合以上情境,請說一說你的想法.

教師預留時間讓學生結合以上情境進行深入思考與交流,并鼓勵學生提出自己的問題,基于學生提出的問題進行歸納總結,形成如下問題:

問題1 如何確定火車站的位置,使得火車站到飛機場的距離最近?

追問1:如果將問題1轉化為數學問題,可以如何理解?

師生活動:在探究過程中,部分學生認為應將該問題抽象為兩點間的距離問題,教師及時啟發和引導,最終達成共識:將該問題抽象為點到直線的距離問題.將火車站和飛機場抽象為一個點P,鐵路線為一條直線l,而火車站為這條直線上的一個點,這樣若想求最短距離,就是求點到直線的最短距離.

追問2:你是如何理解點P到直線l的距離的?

生1:就是點P到直線l的垂線段.

追問3:在平面直角坐標系內,若點P的坐標為(x,y),直線l的方程為Ax+By+C=0,如何求點P到直線l的距離呢?

設計意圖:教師著力創設合適的教學情境,引導學生發現并提出數學問題,通過對問題的深入探索把握數學的本質,形成和發展數學核心素養.激發學生探究熱情.本環節,教師以生活情境為背景,鼓勵學生根據現實情境提出問題,以此自然引出本課研究的主題—點到直線的距離.

2、自主探究,生成公式

問題2 已知點P的坐標為(-1,2),請求出點P到下列直線的距離d.直線方程如下:

(1)l:x=5;(2)l:y=-2;(3)l:2x+y-10=0.

問題給出后,教師讓學生獨立求解,然后提供時間讓學生交流展示自己的解題過程.問題(1)和問題(2)是學生熟悉的內容,幾乎所有人都給出了正確的答案,對于問題(3),部分學生犯了難,教師重點呈現問題(3)的解答過程.

師:誰來說一說,問題(3)該如何求解呢?

生2:過點P作PQ⊥l于點Q,求出PQ的直線方程,然后求出點Q的坐標為(3,4),這樣利用兩點間的距離公式,可以求出PQ的長.

師:是個不錯的方法,利用已有經驗將問題轉化為兩點間的距離問題,做到了活學活用.你們還有其他方法嗎?

師:也是一個不錯的想法,利用間接法也求出了點到直線的距離.對比以上兩種方法,你認為哪種方法更好呢?請大家選擇一個合適的方法解決下面這個問題.(教師PPT出示問題)

問題3 已知點P0(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0(A≠0且B≠0),求點P0到直線l的距離(用x0,y0以及A,B,C表示).

教師先嘗試讓學生獨立解決,然后鼓勵學生合作探究,對比分析,學生理解并掌握推導方法后,教師又運用微課分別展示用直接法和等面積法推導點到直線的距離公式的過程.這樣通過交流與展示,有利于公式的理解與深化.

師:剛剛在推導公式時有一個限定條件,即A≠0且B≠0,若A=0或B=0時,該公式是否成立呢?

師:很好,也就是說在推導公式時,我們需要分三種情況討論.為了避免出現錯誤,我們在運用點到直線的距離公式時需要將方程轉化為一般形式.

設計意圖:通過由淺入深的問題,引導學生經歷公式生成過程,讓學生充分體會數學探究的樂趣,提高學生探究的積極性.在此過程中,教師鼓勵學生從不同角度探尋不同的推導方法,以此發散學生的數學思維,提高學生分析和解決問題的能力.同時,在推導過程中,通過分類與整合的數學思想方法滲透,培養的思維的嚴謹性和深刻性,促進學生數學核心素養的落實.

3、公式運用,深化理解

例2 已知點A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ΔABC的面積.

設計意圖:通過簡單的例題幫助學生鞏固公式,讓學生體會用代數問題解決幾何問題的優越性,培養學生數形結合意識.在此過程中,教師重視呈現學生的思考過程,這樣既可以檢測學生基礎知識的掌握情況,又能達到規范解答的目的,提升學生解題技能.

4、歸納總結,知識升華

師:請從知識、方法、思想等方面歸納總結本節課學習的內容?談談你有哪些收獲?

設計意圖:教師讓學生先思考后交流,以此在思考中深化理解,在交流中積累經驗.通過合作交流,學生總結歸納了點到直線距離公式的推導方法,深化了對數形結合、轉化化歸、特殊到一般、分類討論等數學思想方法的理解,提高了學生數學思維品質,促進了學生數學核心素養的發展.

二、課堂反思

1、創設有效情境,培養學生問題意識

數學是一門較為抽象的學科,為了淡化數學知識的抽象感,激發學生的探究欲,教師不妨從教學實際出發,創設有效的教學情境,讓學生在情境中體驗、思考、交流,鼓勵學生自主提出和解決問題,培養學生問題意識,激發思維活力.值得注意的是,教師應重視從生活實際出發,創設一些與生活緊密聯系的教學情境,引導學生學會用數學眼光觀察現實問題,發展學生數學素養.

2、創設有效問題,落實“四基”“四能”

問題是思維的起點,是誘發思考的內驅力.教學中,教師應切實從教學實際出發,創設有效的問題,讓學生在問題的驅動下經歷知識形成、發展、應用這一完整的數學認知過程,以此讓學生全面深刻地理解知識,促進“四基”“四能”的落實.本節課以問題為主線,讓學生在問題的引領下自主推導公式、應用公式,通過經歷自主探究的過程,促進學生數學核心素養的提升.

3、關注生成過程,促進思維發展

數學教學其實質是數學思維的教學,發展學生數學思維能力是數學教學的重中之重.在概念、公式等基礎知識教學中,若教師忽視知識生成過程,把精力放在這些基礎知識的應用上,那么將錯失許多發展學生思維能力的素材和時機.在課堂教學中,教師要多提供機會讓學生經歷知識生成過程,讓學生學會用數學思維思考和解決問題,以此讓學生的數學思維和數學素養得以開花結果.

總之,數學教學不是單一地傳授,而是提供更多的機會讓學生自主探究,提高學生數學學習的主動性,培養學生樂于思考、勤于探究的良好學習習慣,讓學生學會用數學眼光觀察世界,用數學思維思考世界,促進學生數學核心素養的落實.