依托直觀想象,培養核心素養
——以幾道模擬考試題求解為例

江蘇省連云港市海頭高級中學 (222111) 王圓圓

直觀想象是數學學科中的一個基本素養,主要是借助幾何(平面幾何或空間幾何等)直觀、空間想象等來感知事物或圖形的形態與變化等,進而結合圖形直觀來數形結合,利用邏輯推理與數學運算來分析與解決問題.而在數學解題過程中,依托直觀想象,通過數形結合,可以直接用來解決一些相應的直觀數學問題,“以形助形”;也可以用來解決一些特殊的抽象數學問題,“以數成形”.結合函數圖象或幾何圖形的直觀,達到“以形助數”.本文通過數例予以說明.

圖1

A.sinβ=sinγcosδB.cosβ=cosγcosδ

分析：依據數學文化場景中的立體幾何圖形,通過相關直線之間的垂直關系以及矩形性質,挖掘對應直線之間的垂直關系,為進一步利用三角函數的定義構建三角函數值的表達式提供條件,進而通過三角函數值之間的關系加以逐一分析與判斷,實現立體幾何中的對應元素的判斷問題.

綜上分析,故選擇ACD.

點評：借助中國古代數學中的天文計算設置復雜的立體幾何情景,并借助立體幾何圖形的直觀來設置創新信息問題.借助復雜的立體幾何圖形直觀,通過直觀想象,合理挖掘立體幾何圖形的內涵與本質,為進一步的邏輯推理與數學運算提供更加廣泛的空間,也是相關圖形直觀的應用本質所在.

例2 (2023屆湖北省鄂東南省級示范教育教學改革聯盟學校高三(上)期中卷·7)已知a=e-2,b=1-ln2,c=ee-e2,則( ).

A.c>b>aB.a>b>c

C.a>c>bD.c>a>b

分析：破解此類大小比較問題,技巧方法比較法.而借助函數圖象的本源,數形結合來直觀想象處理,更加直接有效.通過觀察各代數式的結構特征與形式,合理構建函數,結合函數圖象的構建,并通過同一變量所對應的函數值的比較,數形結合直觀判斷,也是解決問題的基本方法.

解：構造函數f(x)=x-2,g(x)=lnx-ln2,h(x)=ex-e2,則a=f(e),b=g(e),c=h(e).在同一平面直角坐標系內,畫出三個函數f(x),g(x),h(x)的圖象,如圖2所示,通過比較x=e處對應的函數值,數形結合可得h(e)>f(e)>g(e),所以c>a>b,故選D.

點評：通過合理挖掘三個代數式的結構特征,引入參數并合理構建函數,利用函數的圖象來直觀判斷,直觀巧妙.這里函數的圖象涉及指數函數、對數函數以及一次函數,只要大體的草圖即可得以確定.數形結合法可以更加直觀形象地處理函數的圖象與性質問題,關鍵就是函數圖象的大體確定與應用.

分析：依據題意條件,隨著動點A在x軸正半軸上的運動,合理“串聯”起點P的位置與點Q的位置,由此帶動相關的圖形特征.抓住動點A在變化過程中的“瞬間”場景,“動”中取“靜”,以點A與B重合的“靜”態場景來特殊化分析與處理問題,是解決該問題時直觀想象的一種“巧技妙法”.

點評：借助圓錐曲線中綜合應用問題的創新場景,利用動點的變化情況加以動靜結合來分析與處理問題.解決此類圖形直觀問題的運動情況問題時,經常借助極端思維與特殊位置(或特殊值等方法),通過問題本質的理解與掌握,合理直觀想象,數形直觀,水到渠成.特殊與一般思維,動靜結合思維等,都是直觀想象核心素養的深刻理解與提升,取決于學生對此類問題的內涵與本質的深入挖掘與應用.

分析：利用題設條件中的關系式恒等變形,結合對應關系式的結構特征,合理聯想到余弦定理中關系式的結構特征,從三角形的性質與基本不等式的應用等視角來分析與處理,合理數形結合,結合邏輯推理與數學運算來綜合應用.

點評：在處理一些相關的數學問題中,其實質不具有圖象或圖形的形式,而借助公式的結論特征、定義的幾何內涵等,合理直觀想象,數形結合,有效進行巧妙的數學建模,利用構建與之對應的圖象或幾何圖形,從幾何層面數形結合,從代數場面數學運算,無中生有,綜合應用,充分體現“數”“形”的和諧統一與完美配合.