教材探源 感悟思想 積累經(jīng)驗*
——一道函數(shù)零點問題的尋根之旅

北京師范大學(xué)淮安學(xué)校 (223001) 楊興剛

判斷函數(shù)零點個數(shù)和已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍是高考的?？碱}型.試題多數(shù)基于數(shù)學(xué)情境命制,考查學(xué)生靈活運用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識解決問題的能力,全面綜合展現(xiàn)極限思想、估算思想的應(yīng)用和學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平.判斷函數(shù)零點是否存在不僅要借助函數(shù)增長差異的“形”去判斷,而且要借助放縮估算的“數(shù)”去證明.本文以一道模擬試題為例,通過挖掘教材找根源、一題多解悟方法、反思提升育素養(yǎng)三個維度,探索函數(shù)零點問題的尋根之旅.

試題根據(jù)核心素養(yǎng)的三個水平設(shè)計問題,第(1)問通過指數(shù)函數(shù)考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的通性通法,屬于水平一的要求;第(2)問(ⅰ)由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍考查學(xué)生解決一類問題的數(shù)學(xué)方法,屬于水平二的要求; 第(2)(ⅱ)問以不等式放縮和極值點偏移為背景考查學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力,屬于水平三的要求,具有很好的區(qū)分度.本文重點探索第(2)問(ⅰ)的思維歷程,呈現(xiàn)函數(shù)零點問題的尋根之旅.

1 教材探源,深化理解

教材中的內(nèi)容、例題、習(xí)題、旁白等都是高考命題的素材,對教材深度理解與挖掘運用是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本.教材探源是回歸基礎(chǔ)、提升能力、發(fā)展素養(yǎng)的必經(jīng)之路.

1.1 直觀感受函數(shù)變化差異

人教版必修第一冊P136第4.4.3節(jié)借助信息技術(shù)討論了不同函數(shù):指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)、一次函數(shù)y=kx(k>0)和對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)圖象的增長差異,讓學(xué)生初步理解“對數(shù)增長”、“直線上升”、“指數(shù)爆炸”的含義.高一的教學(xué)要求主要是讓學(xué)生直觀地感受不同函數(shù)的增長差異,不給出嚴(yán)格的證明.在教學(xué)過程中,教師可以讓學(xué)生觀察三個函數(shù)圖象的交點個數(shù),為下節(jié)函數(shù)零點做好鋪墊.

1.2 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)變化快慢

人教版教材選擇性必修第二冊P88探究和P89例4,借助導(dǎo)數(shù)絕對值的大小,比較了兩個函數(shù)圖象變化的快慢.在教學(xué)過程中,教師要借助導(dǎo)數(shù)精細(xì)研究函數(shù)圖象的“陡峭”與“平緩”程度,為估算函數(shù)值的大小奠定基礎(chǔ).

1.3 泰勒展式估算逼近

人教版教材必修第一冊P256拓展探索T26和蘇教版教材必修第一冊P209閱讀題T20均介紹了計算器如何確保計算結(jié)果的精確性問題.材料介紹了計算器的工作原理,體會泰勒展式中多項式函數(shù)逼近指數(shù)函數(shù)的估算思想,激發(fā)學(xué)生深入學(xué)習(xí)的興趣,激勵學(xué)有余力的學(xué)生去查閱文獻(xiàn)資料,攀登更加美妙的數(shù)學(xué)大廈.

2 解題探索,感悟思想

通過對問題的多角度思考、分析與對比,不僅可以加深對基礎(chǔ)知識、基本技能的理解,而且可以感受基本思想方法的內(nèi)涵,加深基本經(jīng)驗的積累,促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2.1 極限思想下的解法

評注：上述分離參數(shù)法,強調(diào)了指數(shù)式可以通過兩邊取對數(shù)實現(xiàn)參數(shù)分離,借助函數(shù)變化差異和極限思想輔助說明圖象函數(shù)的焦點個數(shù),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的直觀表達(dá).

2.2 估算解法

評注：本解法很好的回避了極限思想的應(yīng)用,更加貼合高中教學(xué)實際和高考函數(shù)零點問題的標(biāo)準(zhǔn)解答,并且給出了如何利用切線不等式構(gòu)造二次函數(shù)探索零點區(qū)間值的取法問題.

3 反思積累經(jīng)驗

數(shù)學(xué)高階思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.高階思維是個體適應(yīng)環(huán)境、尋找認(rèn)知平衡的關(guān)鍵能力.[2]對復(fù)雜情境的問題的解決,不僅需要學(xué)生自己有扎實的基本活動經(jīng)驗積累,而且需要學(xué)生之間的展示與交流、質(zhì)疑與表達(dá).學(xué)生要積極參與數(shù)學(xué)活動,在問題的分析與解決過程中,碰撞出新的思維火花,在批判質(zhì)疑的交流活動中,理解數(shù)學(xué)知識本質(zhì),深化數(shù)學(xué)方法理解,搭建拾級而上的思維橋梁,感悟數(shù)學(xué)思想方法的魅力.