一道拋物線問題的思路突破與教學微設

陳超

1 考題呈現，思路突破

1.1 考題呈現

考題? （2021年常州市中考卷第28題）如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，正比例函數y=kx （k≠0）和二次函數y=－14x2+bx+3的圖象都經過點A（4，3）和B，過點A作OA的垂線交x軸于點C.D是線段AB上的一點（點D與點A，O，B不重合），E是射線AC上的一點，且AE=OD，連接DE，過點D作x軸的垂線交拋物線于點F，以DE，DF為鄰邊作平行四邊形DEGF.

（1）填空：k=，b=；

（2）設點D的橫坐標為t（t>0），連接EF，若∠FGE=∠DFE，求t的值；

（3）過點F作AB的垂線交線段DE于點P，若S△DFP=13SDEGF，求OD的長.

1.2 思路突破

本題為以拋物線為背景的函數綜合題，題設三問，分別求直線與拋物線的特征參數，分析等角關系下的坐標值，以及探究幾何面積的構建.

（1）點A和B為正比例函數與二次函數的交點，可采用待定系數法求特征參數.將點A（4，3）分別代入對應的解析式中，可解得k=34，b=1.

（2）該問探究當∠FGE=∠DFE時點D的橫坐標，圖象較為復雜，解析的關鍵是轉化等角條件.

第一步，推導關鍵點的坐標.

如圖2，在平行四邊形DEGF中，有∠FGE=∠FDE，又知∠FGE=∠DFE，所以∠FDE=∠DFE，則EF=ED.點D在函數y=[SX（]34[SX）]x的圖象上，其坐標設為t，34t（t>0）.由DF平行于y軸，可知Ft，－14t2+t+3.由△DEF為等腰三角形，知點E位在DF的垂直平分線上，故點E的縱坐標為1234t－14t2+t+3=－18t2+78t+32.

第二步，構建方程求坐標.

過點A作EG的垂線，設垂足為M，延長GE與x軸的交點設為N，如圖2所示，則∠AEM=∠NEC=∠AOC，所以cos∠AOC=cos∠AEM=EMAE=45.又因為AE=OD=t2+34t2=54t，可解得t=15+1772（舍去），或t=15－1772，所以點D的橫坐標t的值為15－1772.

點評：第（2）問的題設有兩大特點：一是等角條件所涉角度與平行四邊形的內角相關；二是平行四邊形的一組對邊平行于y軸.按照“等角轉化—關鍵點推導—構建坐標參數方程”的思路進行解題，即首先將等角轉化為等邊條件，然后推導關鍵點的坐標，基于三角函數構建參數方程，進而完成求解.其中，平行四邊形的特征性質與三角函數是破題的關鍵知識.

（3）該問設定S△DFP=13×SDEGF，求OD的長，需要構建面積模型，轉化面積條件，然后求線段長.

第一步，轉化面積條件.

當S△DFP=13SDEGF時，可推知DPDE=23.因為AB⊥FP，AB⊥AC，所以FP∥AC.設FP交AB于點Q，如圖3，由平行線的性質可得DQDA=DPDE=23.

第二步，構建線段關系.

設直線FD交x軸于點H.由∠FDQ=∠ODH，得cos∠FDQ=DQDF=DHOD=cos∠ODH=35.因為DF=－14t2+14t+3，所以可知DQ= 35－14t2+14t+3，則DA=32DQ=32×35×－14t2+14t+3.又DA+OD=5，所以32×35×－14t2+14t+3+54t=5，可解得t=239或t=4（舍去）.故OD=54t=11536.

點評：

第（3）問則是將函數與圖形面積緊密關聯，同樣特點鮮明：一是構建三角形與四邊形的面積關系；二是隱含眾多平行與垂直關系.故探究線段長需分步進行：轉化面積關系條件，推導線段長，利用三角函數構建坐標參數方程.其中的破題方法特點突出，實用性強.

2 基于考題開展教學微設計

上述充分利用數學思想和解題方法來破解考題的后兩問，教學中需要重視思維的引導，合理設問引導學生獨立思考，幫助學生理解方法，形成自我的解題策略.下面基于第（2）（3）問開展教學微設計.

環節一：知識強化，初識圖象

題干? 如圖4所示，在平面直角坐標系xOy中，正比例函數y=34x和和二次函數y=－14x2+x+3交于點A和B，過點A作OA的垂線交x軸于點C.D是線段AB上的一點（點D與點A，O，B不重合），E是射線AC上的一點，且AE=OD，連接DE，過點D作x軸的垂線交拋物線于點F，以DE，DF為鄰邊作平行四邊形DEGF.

設問1? 根據函數解析式提取特征參數，并求點A，B，C的坐標.

設問2? 理解構圖過程，梳理條件，提取其中的幾何性質.

設計意圖：直接呈現函數解析式，強化特征參數，掌握求交點的方法，同時引導學生讀題，把握圖象構建過程，理解圖象，提取幾何性質，為后續探究作鋪墊.

環節二：拾級而上，轉化構建

在環節一的基礎上，進一步設定：如圖2，過點A作EG的垂線，設垂足為M，延長GE與x軸的交點設為N.設點D的橫坐標為t（t>0），連接EF，∠FGE=∠DFE.

設問1? 在平行四邊形DEGF中，可以得出怎樣的線段關系？△DEF有怎樣的特性？

設問2 ?設點D的坐標為t，34t（t>0），請推出點F，E，N，M的坐標，并求OD，EM，AE的長.

設問3? 分析可得∠AEM=∠NEC=∠AOC，是否有cos∠AOC=cos∠AEM？并求該函數值，

設問4? 請在Rt△AEM中構建cos∠AEM，并求出t的值.

設計意圖：將第（2）問的解析過程進行拆解，引導學生轉化條件，推導關鍵坐標和線段長，利用三角函數構建方程求解，使學生充分體驗解題過程.

環節三：思維發散，提升能力

在環節一的基礎上，進一步設定：如圖3，過點F作AB的垂線交線段DE于點P，若S△DFP=13SDEGF.

設問1? 構建關于△DFP和平行四邊形DEGF的面積模型，轉化面積條件，分析DPDE的比值.

設問2? FP∥AC，圖象中是否有相似三角形，DQDA與DPDE是否相等？

設問3? 已知∠FDQ=∠ODH，在Rt△ODH中構建三角函數，求cos∠ODH的值.

設問4? 根據上述三角函數構建的邊長比例，推導DF，DQ，DA的線段長.根據DA+OD=5構建關于t的方程，進而求出OD.

設計意圖：拆解第（3）問的解析過程，引導學生轉化面積條件，充分利用三角函數知識來構建方程.同時引導學生體會解題的思想方法，感悟思想內涵.

解題教學建議采用教學微設計的方式，微設環節精選問題，合理拆解問題，通過設問來引導學生思考，探索解題步驟，體會解題過程，促進解題思維的發展.設計環節要注意兩點：一是問題設計的連續性，采用連續設問來引導學生遞進思考，促進思維形成；二是問題設計的導向性，關注學生的認知能力，利用具有引導性的問題來輔助學生思考.總之，整個教學環節要尊重學生的主體地位，給學生留足思考空間，以培養學生的解題思維為教學重點.

參考文獻：

［1］張小麗.問題解讀思路構建，方法探究思維提升——以一道拋物線為背景的考題為例[J].數學教學通訊，2021（5）：72-73，80.

[2]王玉兵.定點判斷、軌跡求解、定義應用——一道拋物線試題的探究[J].中學數學，2021（9）：64-65.