一題多解 發散思維

張長青

摘要：新課程改革要求課堂教學不能停留在知識傳授層面，而應該深入到學生素養的培養、發展與提升上.初中數學是一門邏輯性非常強的學科，對學生的數學思維具有一定的要求.為了讓學生的思維常學常新，教師需想方設法培養學生的發散性思維.本文中從一道菱形試題的一題多解出發，嘗試在滲透數形轉化的過程中讓學生的思維得到發散.

關鍵詞：思維；數形轉化；一題多解；菱形

在課堂教學時，筆者經常有這樣的經驗：如果學生的思維受限嚴重，那么數學課堂氛圍將會異常沉悶，而如果學生的思維比較靈活，那么課堂教學效果也會得到提升.由此可見，課堂教學不應只是傳授知識，而更應該培養學生的發散性思維.本文中從一道菱形試題出發，嘗試研究通過滲透數形轉化、一題多解的方式提升學生的思維能力.

1 數形轉化與思維發散之間的關系

數形轉化是解決數學問題非常重要的一種思想或方法，也就是將“數”與“形”進行轉化，借助直觀圖形對抽象的問題進行分析并最終解決問題.發散思維強調多角度分析問題及多方法解決問題，而當分析的問題比較抽象、復雜時，往往需要利用數形轉化思想具體化或簡化問題.

因此，筆者認為數形轉化是思維發散的過程，而思維發散是數形轉化的結果.

下面，借一道例題進行分析和說明：

例題? 如圖1所示，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F，G，H分別是OA，OB，OC，OD的中點.

求證：四邊形EFGH是菱形.

本題需要證明四邊形EFGH

是菱形，而所給的條件只有菱形ABCD和四條線段的中點.很顯然，需要僅僅抓住“中點”這一“數”的特點，并與“菱形”這一“形”結合起來分析問題.那么，此題如何體現出數形轉化與思維發散之間的關系？

首先，應明確各條件所能得到的結論有哪些，如由“菱形ABCD”可得四邊形ABCD的四條邊都相等、對角線互相平分且垂直、兩組對邊分別平行且相等、對角線平分一組對角等.“菱形ABCD”是“形”，而邊相等、角相等都是“數”量關系，是通過“形”推理出“數”.

然后，由“點E，F，G，H分別是OA，OB，OC，OD的中點”可證得EF，FG，GH，HE分別是△AOB，△BOC，△COD，△DOA的中位線，再結合三角形中位線定理即可證得四邊形EFGH是菱形．“點E，F，G，H分別是OA，OB，OC，OD的中點”是“數”，而證得“四邊形EFGH是菱形”是“形”，是通過“數”推理出“形”.

發散思維是一種不依常規、尋求變異、從多方面尋求答案的思維方式.

那么，如何發散學生的數學思維與滲透數學轉化思想呢？由于菱形的判定定理非常多，因此可從多種思路出發，嘗試一題多解，最終讓問題得到解決.

2 一題多解及評析

根據上述分析，本題的解法非常多.在實際課堂教學中，主要出現了以下三種解法.

證法一：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA.

∵E是OA的中點，F是OB的中點，

∴EF是△AOB的中位線.

∴EF∥AB，EF=12AB.

同理，可得GF∥BC，GF=12BC；

HG∥DC，HG=12DC；

HE∥AD，HE=12AD.

∴EF=GF=HG=HE.

∴四邊形EFGH是菱形（四條邊都相等的四邊形是菱形）.

證法一緊緊抓住“點E，F，G，H分別是OA，OB，OC，OD的中點”這個條件，積極利用三角形中位線定理和菱形的性質，通過證明四條邊都相等得到四邊形EFGH是菱形.可以說，靶向定位準確、思路清晰明了，過程層次分明，內容通俗易懂，是這種解法最大的特點.

證法二：∵E是OA的中點，F是OB的中點，

∴EF是△AOB的中位線.

∴EF∥AB，EF=12AB.

同理，可得HG∥DC，HG=12DC.

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥DC，AB=DC.

∴EF=HG，EF∥HG.

∴四邊形EFGH是平行四邊形.

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC.

∴四邊形EFGH是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.

證法二先根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形EFGH是平行四邊形，然后結合菱形ABCD的性質“菱形的對角線互相垂直”得到BD⊥AC，最后根據“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”證得四邊形EFGH是菱形.其中，菱形的性質與判定的靈活使用是重要前提，如果性質與判定搞混淆了，將會給解題帶來極大的困擾[1].

證法三：∵E是OA的中點，F是OB的中點，

∴EF是△AOB的中位線.

∴EF∥AB，EF=12AB.

同理，可得HE∥AD，HE=12AD.

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD.

∴HE=EF.

∵H是OD的中點，G是OC的中點，

∴HG=12DC，HG∥DC.

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=DC，AB∥DC.

∴EF=HG，EF∥HG.

∴四邊形EFGH是平行四邊形.

∴四邊形EFGH是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

證法三先結合菱形的性質、三角形的中位線定理證得一組鄰邊相等，即HE=EF，

然后根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形EFGH是平行四邊形，

最后根據“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得四邊形EFGH是菱形.該判定方法與前兩種判定都不同，抓住菱形與平行四邊形之間的區別是解決這類問題的關鍵.

3 總結與啟示

首先，從題目要證明的結論出發，引導學生思考具體能根據哪些判定進行證明.如本題的結論是“四邊形EFGH是菱形”，那么讓學生思考菱形的判定方法有哪些，這樣就給學生解決問題提供了重要啟示.

然后，結合菱形的判定尋找條件.如果根據“四條邊都相等的四邊形是菱形”來證明，那么需要證明四條邊都相等.如果根據“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”來證明，那么需要證明四邊形是平行四邊形且對角線互相垂直.如果根據“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”來證明，那么需要證明四邊形是平行四邊形且一組鄰邊相等.

最后，繼續探究如何根據已知條件證明所需條件.例如，如果根據“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”來證明，那么題中有哪些已知條件可證明一組鄰邊相等，又有哪些條件可證明四邊形是平行四邊形.如此下去，將每個所需條件根據已知條件全部證得即可.

需注意的是，在以上三種不同的解法中，菱形的性質和判定都有體現，注意區分菱形的性質和判定是正確解決該問題的關鍵.因此，在講完性質和判定之后，筆者認為應將性質與判定之間的區別講清、講透，讓學生將性質與判定完全區分開，否則在解題時極易混用[2].

總之，像本文展示的例題一樣，有些題目的思維突破口非常多，但因其綜合程度較高，其中包含了許多其他的知識點，所以無形中提高了解題難度，學生解答的準確性也隨之降低.因此，在日常教學中注重基礎知識的夯實與借助變式、一題多解等訓練學生的思維非常有必要.

參考文獻：

[1]張靜，張晗煜，賀媛.數學習題教學策略之“一題多解”[J].新教育時代電子雜志（學生版），2019（31）：257-258.

[2]蘇猛.從一道課本例題談“一題多解”對學生數學思想方法的培養[J].內蒙古教育（職教版），2013（10）：67-68.