類比推理在數學教學中的應用原則與方法

張程

類比推理是結合兩類不同事物的類似特征，根據已知事物的特征，推導出另一類事物特征的一種方法.這種方法推導出來的結論不一定準確，但存在一定的合理性，可利用證明或反例來確定其可靠性.簡而言之，這是一種由特殊到特殊的推理形式，基本范式如下：

A的性質有：a1，a2，a3……，an，a′；B的性質有：b1，b2，……，bn.其中，ai和bi（i=1，2，3，……，n）類似或相同.據此可推斷B具有b′的性質，b′與a′相似或相同[1].

類比推理作為科學研究的重要方法之一，也適用于初中數學概念、解題等的教學中.掌握好這種思維，能有效地幫助學生通過已知獲得未知，實現思維的創新.

1 應用原則

1.1 參與性原則

新課標明確提出學生才是課堂的主人.隨著新課改的推進與深入，學生已然成為當前數學課堂中的主體，教師只是起引導作用.想要提高教學效率，首先需調動學生參與教學活動的積極性，鼓勵學生主動、自主地參與到類比推理過程中，為更好地獲得新知奠定基礎.

1.2 過程性原則

教師不能將眼光局限于類比推理的結論，而應關注學生在類比推理過程中思維的發展歷程，只有領悟到數學思想方法，才能從真正意義上實現思維的進步.為了啟迪學生的思維，教師可將自己的思維過程暴露出來供學生參考，讓學生從中看到類比推理的邏輯關系，從而促進自身學習能力的發展.

2 應用方法

2.1 引入概念

概念是數學學習的基礎，也是知識學習的首要環節，它的重要性不言而喻.隨著新課改的推進，教師的教學觀念也逐漸發生了轉化，概念教學由原來靜態的文字形式轉化成動態的教學模式，常見的有結合學生的生活素材或原有的認知結構進行概念的引入.

新課標特別強調數學與生活的關系，要求教師結合學生的生活實際進行教學.其實，不少數學概念在學生的實際生活里都能找到它的原型.為此，教師可在充分了解概念內涵與外延的基礎上，結合學情，利用與學生生活相關的情境，幫助學生抽象概念.

案例1? “平面直角坐標系”的教學

平面直角坐標系是一個比較抽象的概念，若運用傳統的“講解+練習”方式，很難讓學生產生形象、深刻的認識.為此，筆者結合學生的生活，采取了以下類比推理的方法來引出概念.

第一步：展示一張18排18座的電影票，要求學生說說尋找該座位的具體方法.

初中學生都有看電影的生活經歷，根據電影票尋找座位是一件簡單且有趣的事，學生很快就能表達清楚尋找座位的方法.

問題? 為什么電影票上要運用幾排幾座來表示每個人的具體位置呢？

學生經過交流與分析，一致認為這么編排的作用就在于讓觀眾快速找到一對一的位置，避免出現擁擠或座位重復的情況，同時還利于售票工作的開展.

第二步：將電影院的座位抽象成點，一個座位用一個點表示，并在此基礎上滲透平面直角坐標系的概念.

學生很快就能根據對電影院座位的直觀感受及電影院座位的特點，類比推理出平面直角坐標系的基本特征.

此過程，教師通過一張電影票引出座位，再引入本節課的教學主題“平面直角坐標系的概念”，學生根據自己熟悉的生活素材，很快就能抓住本節課的重點，并對此產生直觀、形象、深刻的認識，使得概念教學更加生動、有效.

2.2 輔助解題

解題能力體現了學生數學綜合水平與素養.類比推理是一種重要的解題方法，它能幫助學生突破思維障礙，找到解題思路，使得原本模糊的問題變得條理清晰，亦可將原本復雜的問題，變得簡潔.初中階段的數學解題涉及到的內容比較多，如幾何、函數、方程等問題，均需用到類比推理法.

為此，筆者針對如何更好地將類比推理法應用于解題教學中，作了大量實踐與研究，頗有收獲.實踐證明，類比推理應用于解題教學中，能有效地激活學生的思維，可為提高課堂教學效率奠定基礎.

案例2? “二次函數”的教學

“二次函數”是初中階段令不少學生頭疼的一個章節，本章內容多且復雜，既是中考的重點，也是難點.中考試卷中常以綜合類問題呈現，對學生知識基礎與思維能力的要求比較高，歷年學生的失分現象都比較嚴重.

問題? 在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c過點A（－2，－4），O（0，0），B（2，0）.（1）求該拋物線的解析式；（2）若M為該拋物線對稱軸上的一點，則AM+OM的最小值是多少？

分析：本題的第（1）問比較容易，只要將A，O，B三點坐標代入拋物線解析式，即可通過解方程獲得結果.第（2）問對于學生而言有點難度，學生思維的障礙點在于求最小值的方法.因此，筆者引導學生類比之前求最短距離的問題，作對稱點，根據兩點間線段最短，將對稱點與另一個點相連，此時與對稱軸產生的交點就是所要找的點，再應用勾股定理，很快就能獲得AM+OM的最小值.

解：（1）將A，O，B三點坐標代入y=ax2+bx+c中，得y=－12x2+x.

（2）拋物線y=－12x2+x的對稱軸是直線x=1，而點O，B關于直線x=1對稱，因此連接AB，與直線x=1相交于點M，則M為待求的點，此時AM+OM的值最小.

過點A作AN垂直x軸于點N，在Rt△ABN中，由AN=BN=4，得AB=AN2+BN2=42.所以OM+AM的最小值是42.

隨著與求最短距離問題的類比，本題的解題思路愈發清晰.若一味地從題目本身去思考，則很難突破思維障礙，從而導致解題失敗.由此可見，類比推理在解題教學中具有無可替代的重要作用.作為教師，應利用好類比推理方法，將它滲透于解題過程中，啟發學生的思維，培養學生的創新意識.

2.3 引發猜想

類比猜想是指應用類比推理法，將兩個數學研究對象或問題中存在的相似之處進行比較，推測出事物的基本屬性，獲得新的命題或方法.解題中，不論從命題的本身來說，還是從解題的思路方法來看，類比推理都能引發學生的猜想，從中獲得命題的引申與推廣的基本動力[2].

最常見的類比猜想有：①根據命題相似的條件，猜想結論的相似性；②根據命題相似的形式，猜想推理方法的相似性.在應用類比推理法求解問題時，應注重輔助問題的引入，輔助問題作為類比的參照，是引發猜想、形成解題思路的重要載體，從輔助問題上可預見到問題的答案.

案例3? “軸對稱圖形”的教學

教師若從理論的角度再三強調軸對稱圖形的概念與性質，學生也很難從本質上掌握其內涵.而引導學生一起動手操作，則能引發學生的共鳴，很容易抽象出軸對稱、對稱軸與軸對稱圖形的概念.

邊操作，邊結合理論，既能突出教學重點，又能促進學生產生知識的正遷移[3].在了解軸對稱圖形的基礎上，對等邊三角形、等腰三角形、正方形、長方形、圓等圖形的性質進行類比猜想，并通過實際操作來驗證這種猜想.

活動中，教師鼓勵學生暢所欲言，積極參與實驗與探究，在親歷圖形性質的抽象過程中獲得相應的結論.如此，既展現了“做中學”的教育理念，又充分展現了“體驗、發展”的教育思想.從學生感知到數學定理的形成，需經歷一個類比推理、猜想、驗證的過程，而每個環節無不透露出數學學科的嚴謹性與思維的周密性.

通過活動的開展，學生親歷操作、推理與驗證的過程，有效地培養了學生的推理能力與創新意識，同時也讓學生深刻體會到數學與生活的實際關系：數學來自生活，高于生活，為生活服務.

綜上可知，教學中教師應結合教學內容與學情，巧妙地創設一些類比推理的機會，以推進學生思維的發展，讓學生體會到數學學習帶來的成就感，從而增強學習興趣，提高學習效率.

總之，類比推理作為一種歷經時代考驗的科學思維方法，可將舊知靈活地應用到新知中，使得學生快速熟悉并接納新事物，尤其是面對靈活多變的數學問題，類比推理法的應用，能有效地打開學生的思維，促進學生創新意識的形成與發展.

參考文獻：

[1]郎淑雷.類比推理：數學發現的有效方法[J].安慶：安慶師范學院學報（自然科學版），2007（3）：119-121.

[2]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006.

[3]李小英.類比遷移對數學問題解決的研究綜述[J].考試周刊，2010（8）：66-67.