從通法到“秒殺”,用思維導圖解答中考壓軸題

陳旭

摘要：利用思維導圖可以引導學生通過研究一題多解來溝通各種知識的內在聯系，幫助學生將已學的知識形成系統，同時讓學生學會從不同的角度，采用合理的觀點去思考同一個問題，提高思維的流暢性和變通性，提高解題能力.本文中以一道幾何問題的一題多解為例，合理借助思維導圖，突破學生思維屏障，拓寬思維廣度和深度，提高學生幾何解題的有效性.

關鍵詞：思維導圖；一題多解；解題能力

1 對一道上海模考試題模型的解法探究

上海市中考數學命題以《上海市中小學數學課程標準》為依據，近幾年，試卷的第24題一般都是平面幾何和二次函數的綜合題，其中幾何部分考查相似的情況比較多，而且通常解法不唯一，蘊涵著多種數學思想方法、數學模型，充分體現了課改理念，深入考查學生分析問題的能力［1］.下面筆者以2018年上海市奉賢區一模第24題為例進行說明.

1.1 問題呈現

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交于點A（-1，0）和點B，與y軸相交于點C（0，3），拋物線的頂點為D，連接AC，BC，DB，DC.

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）求證：△ACO∽△DBC；

（3）如果點E在x軸上，且位于點B的右側，∠BCE=∠ACO，求點E的坐標.

1.2 課堂還原

呈現題目后，讓學生思考并展示思路.

第（1）（2）問對于學生來說比較基礎，第（1）問只需利用待定系數法即可求解.作為解決問題的引入，第（2）問提示學生本題重點涉及相似三角形的相關知識，在思維上起到啟示的作用.經過討論，得到前兩問的思維導圖（如圖2所示）.

第（3）問是本題的難點，本文重點研究這一問.一方面，題設條件給出∠BCE=∠ACO，這是角相等的問題，利用該條件如何切入呢？另外一方面，從要求的問題來看，是求點E的坐標，讓學生發散思維，又可以從哪些角度入手呢？觀察圖中的∠ACO，∠BCE，發現它們所在的兩個三角形△AOC和△BCE明顯不相似，進一步追問該怎么辦？學生根據已有的經驗，首先會想到構造兩個相似三角形，這樣就可以和第（2）問聯系起來.

經過教師引導和學生討論后，得出多種處理該問題的思路.第（3）問的思維導圖如圖3所示.

1.3 解法探究

第（1）（2）問解答如下：

（1）把A（-1，0）和C（0，3）代入y=-x2+bx+c，得-1-b+c=0，c=3，解得b=2，c=3.

所以，拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，頂點D的坐標為（1，4）.

（2）令-x2+2x+3=0，則x1=-1，x2=3，所以B（3，0）.利用兩點間距離公式，

可得BC=32，CD=2，BD=25，則BC2+CD2=BD2，于是∠BCD=90°，易

證得△ACO∽△DBC（過程略）.

下面重點研究第（3）問，提供如下7種解法.

思路一：從構造相似三角形的方向考慮相似模型，即利用相等角構造相似三角形.

由于∠BCE=∠ACO，△AOC是一個含有∠ACO的直角三角形，因此只需再構造一個含有∠BCE的直角三角形即可.基于這種思路，學生提出以下幾種構造方法.

解法1：如圖4，過點B作BF⊥CE于點F，易證△AOC∽△BFC，所以AOBF=ACBC，

即1BF=1032，解得BF=355.

設E（m，0），利用兩點間距離公式，可得

BE=m-3，CE=m2+9.

由S△BCE=12BE·OC=12BF·CE，可得

3m-3=355[KG-1mm]m2+9.

解得m1=6，m2=32（舍）.

故E（6，0）.

事實上，解法1還利用了幾何中經常使用的等面積法，成功地把幾何問題轉化為代數中的方程問題.此種解法比較常規，屬于通法，但是計算稍顯繁瑣.

解法2：如圖5，過點B作BF⊥BC交CE于點F，易證△AOC∽△FBC.過點F作x軸的垂線，垂足為G，可知FG∥OC.由△AOC∽△FBC，

可得OABF=OCBC，

即1BF=332，解得BF=2.

又由OB=OC，即∠CBO=45°，得∠FBG=45°.

因此FG=BG=1.

由FG∥OC，可得FGOC=GEOE，即13=OE-4OE，解得

OE=6.

故E（6，0）.

解法2主要是注意到△COB是等腰直角三角形，進而構造出另外一個等腰直角三角形BGF，然后利用平行線分線段成比例的基本事實，快速得到OE.與解法1相比，計算量大大減少，但是輔助線的添加較為繁瑣，也需要學生能夠注意到特殊的角度.

在解法2的基礎上，有學生提出了解法3.

解法3：如圖6，過點E作EF⊥CB，交CB的延長線于點F，易證△AOC∽△EFC.

同解法2，注意到∠1=∠2=45°，可得

△BEF為等腰直角三角形，于是

BE=2EF=2BF.

由△AOC∽△EFC，

可得EFOA=CFOC，即EF1=32+EF3，解得

EF=322.

所以BE=2EF=3.故E（6，0）.

解法3其實也是注意到了特殊的45°角，但是與解法2相比，顯然輔助線相對簡單，后續的計算過程也比較簡便.

同樣地，也是注意到了特殊角，有學生提出可以用如下解法來構造相似三角形.

解法4：如圖7，過點A作AF⊥BC于點F，可得∠1=∠2=45° .

所以AF=BF=22AB=22，因此CF=2 .

由∠ACO=∠BCE，得∠ACF=∠OCE，

可證△ACF∽△ECO，所以AFOE=CFOC，

即22OE=23，解得OE=6.

故E（6，0）.

以上四種解法的共同點都是構造相似三角形，前三種解法都是構造不同的直角三角形與△AOC相似，解法4是構造直角三角形與△EOC相似.同時，解法1還使用了兩點間的距離公式和等面積法，解法2利用了平行線分線段成比例的基本事實，解法3利用了△BEF是等腰直角三角形.相對來說，解法1的輔助線學生比較容易想到；解法4中的△ABC中含有45°角，注意到這一點，就很容易聯想到作輔助線AF.解法3和解法4的計算過程相對簡單.

完成了上述四種解法后，有學生提出了利用圖中∠CBE=135°也可以構造相似三角形，于是得到解法5.

解法5：如圖8，在OC上截取OF=OA=1，則CF=2.

連接AF，易得∠AFO=45°，∠AFC=135°，于是AF=2.

易證△CFA∽△CBE，

所以CFCB=AFBE，即232=2BE，

解得BE=3.

故E（6，0）.

上述解法5需要注意到∠CBE=135°，不容易想到輔助線的構造，但是計算過程比較簡便.

思路二：構造直角三角形斜邊中線模型，即利用相等角（“秒殺”）.

上述五種解法都是構造相似三角形，有沒有更加簡便快捷的方法呢？跳出構造相似三角形這一框架，要求點E的坐標，在已知點C坐標的情況下，可以通過求出直線CE的解析式，即先求出CE與BD的交點F的坐標來得到.由于△BCD是直角三角形，因此利用第（2）問的結論和第（3）問的題設條件可以推出F為BD的中點，再利用中點坐標公式即可求出點F的坐標.

解法6：如圖9，設CE與BD交于點F.由第（2）問結論△ACO∽△DBC，可得∠DCB=∠AOC=90°，∠CBD=∠ACO，

于是∠CBD=∠BCE.

因此CF=BF.

因為∠CBD+∠CDF=90°，∠DCF+∠BCE=90°，

所以∠DCF=∠CDF，即CF=DF，從而DF=BF.

于是F（2，2）.

故直線CF的解析式為 y=-12x+3，則E（6，0）.

思路三：全等模型，即利用相等角，構造全等型（“秒殺”）.

利用隱含條件∠OBC=∠OCB=45°，∠1=∠BCE可進一步推出∠OBD=∠OCE，延長BD交y軸于點F，構造全等三角形，利用全等三角形對應邊相等，將求OE的長轉化為求OF的長.由于直線BD的解析式非常容易得到，因此易求出點F的坐標，這種解法計算量也很小.

解法7：如圖10，延長BD交y軸于點F， 和解法5一樣可證∠1=∠BCE.又由∠OBC=∠OCB=45°，可得∠OBF=∠OCE， 從而有△BOF≌△COE，可得OE=OF.由直線BD的解析式為y=-2x+6，可得F（0，6），即OF=6.故OE=6， 即E（6，0）.

解法7中，得到∠OBF=∠OCE后，由于這兩個角正好都在直角三角形中，因此也可以使用三角比來得到OE=OF.

解答如下：因為∠OBF=∠OCE，所以tan∠OBF=tan∠OCE，則OFOB=OEOC，即OF3=OE3，因此OF=OE.

上述七種解法的輔助線構造方法不同的一個重要原因是學生處理問題的出發點不同，幾種相似模型的輔助線構造方法也不同則是因為構造的相似三角形不同，這是很自然的過程，從本質看，又屬于“形變質通、殊途同歸”.輔助線通常是解決問題的橋梁，巧妙的輔助線經常可以“柳暗花明又一村”.

2 思考和啟迪

列夫托爾斯泰說過：“知識，只有當它是靠積極的思維得來，而不是憑記憶得來的時候，才是真正的知識.”因此，教師在課堂上應把思考的權力還給學生，留給學生充分的思考時間.

對于初中的綜合題講評課，筆者認為在教學時要注重對數學模型的抽象和提煉.“模型”是學生學好數學的一種認知策略.在教學中要充分利用“數學模型”，從不同角度去思考同一道題目的解答方法，讓學生大膽地質疑、大膽地思考，從多角度去發現問題.每一個條件不同的延伸方向都是一種不同的解題思路，學生在探究的過程中所獲得的會比僅僅接受一種解法更加全面.作為教師，不僅要給學生探究的機會，更要及時收集和分享學生的探究成果.一題多解，溝通了各種知識間的內在聯系，有利于形成知識系統，同時讓學生學會從不同的角度去思考同一個問題，有利于提高思維的流暢性和變通性，提高解題能力［2］.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］李士锜，黃興豐.數學案例教學論[M].合肥：安徽教育出版社，2011.