平行線分線段成比例定理及其推論在解題中的應用

王雄

摘要：平行線分線段成比例是學習相似的基礎，學好平行線分線段成比例可以幫助學生更好地學習相似及相似三角形.基于此，本文中先分別敘述平行線分線段成比例定理與推論的內容，然后分析二者之間的聯系，最后通過幾道例題說明平行線分線段成比例定理及其推論在解題中的應用.

關鍵詞：平行線分線段成比例；推論；解題

平行線分線段成比例定理一直是學生初學與相似有關內容的一道關卡，在沒有充分理解定理與推論的情況下，解題是非常困難的[1].因此，理解平行線分線段成比例定理及其推論，是應用它們解題的重要前提[2].作為一線教師有必要認清這一點，且要想方設法改變教學方式，讓學生更深入理解這一內容.基于此，本文中先分別敘述定理與推論的內容，然后分析二者之間的聯系，最后通過例題分析展示如何將其應用于解題中.

1 平行線分線段成比例定理及推論

1.1 定理

平行線分線段成比例指的是“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例”.如圖1所示，直線l1，l2，l3截直線a，b，且l1∥l2∥l3，則可得到：

ABBC=DEEF，

ABAC=DEDF，

BCAC=EFDF.

在應用過程中，應注意以下幾個方面：

（1）這里的一組平行線指的是三條兩兩平行的直線，如圖1中的l1，l2，l3.

（2）截線和被截直線不一樣.截線通常指兩兩平行的直線，如圖1中的三條l1，l2，l3；被截線通常是指兩條直線，如圖1中的直線a，b，這兩條直線可能平行，也可能不平行.

（3）所有的成比例線段都是指被截直線上的線段，如圖1中的AB，BC，AC，DE，EF，DF，與平行線上的線段無關，例如不是圖1中的AD，BE，CF.

（4）利用平行線分線段成比例寫比例式時，一定要注意對應線段寫在對應的位置上.教學時，可按照如下方法指導學生找準對應的位置：將ABBC=DEEF，ABAC=DEDF，BCAC=EFDF中的AB，DE的位置看成“上”，將BC，EF的位置看成“下”，將AC，DF的位置看成“全”，所以比例式轉化為上下=上下，上全=上全，下全=下全.這樣一來，學生在遇到這類問題時，只需利用“上下=上下，上全=上全，下全=下全”就可迅速找到對應線段之比.

1.2 推論

所謂平行線分線段成比例的推論，指的是“平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，截得的對應線段成比例”.如圖2所示，在△ACF中，如果BE∥CF，那么可得到：

ABBC=AEEF，

ABAC=AEAF，

BCAC=EFAF.

在應用推論的過程中，

應注意以下幾個方面：

（1）推論中包括和“兩邊的延長線”相交，

“兩邊的延長線”是指三角形兩邊在第三邊同一側的延長線.

（2）成比例線段不涉及平行線上的線段，即

不包括圖2中的BE，CF.

（3）當兩條被截直線相交時，其交點處可看作含一條隱形的平行線.

2 定理和推論之間的關系

對比圖1和圖2，不難發現，定理和推論之間存在一定的聯系.可以確定的是，推論是在定理的基礎上進一步推導、演變而來.所以，定理是基礎，推論是拓展.那么如何理解這種演變，是教師引導學生在三角形中進一步認識定理的關鍵.

為此，筆者將從“當兩條被截直線相交時，其交點處可看作含一條隱形的平行線”出發，著力體現這一變化過程.

現對圖1做如下處理：

如圖3所示，過點D作AC的平行線，分別交l2，l3于點H，N，此時就出現了如圖2的△DNF.

在圖3中，易證得四邊形ABHD和四邊形BCNH是平行四邊形，所以AB=DH，BC=HN.于是，可將圖3中的比例式變式為圖4中的比例式.簡而言之，只要按照這種方法，將A和D兩個點通過平移的方法形成一個點，繼而就可將圖1中的比例式轉化成圖2中的比例式，這就是定理向推論的轉變.

3 例題分析及反思

3.1 例題分析

例? 如圖5，在△ABC中，點D在BC邊上，連接AD，點E在AC邊上，過點E作EF∥BC，交AD于點F，過點E作EG∥AB，交BC于點G，則下列式子一定正確的是（? ）.

A.AEEC=EFCD

B.EFCD=EGAB

C.AFFD=BGGC

D.CGBC=AFAD

解析：在△ABC中，GE∥AB，根據平行線分線段成比例的推論，按照“上下=上下，上全=上全，下全=下全”的思路，可得CEAE=CGBG，CEAC=CGBC，AEAC=BGBC.同理，在△ADC中，也可得AFDF=AEEC，AFAD=AEAC，DFAD=ECAC.

于是AFDF=AEEC，CEAE=CGBG.

即AFDF=AEEC，AEEC=BGGC.

所以AFFD=BGGC

故選答案：C.

3.2 反思

從例題的解法中不難看出，利用平行線分線段成比例定理是基礎，且在兩個不同三角形中應用推論，從而找到“AFDF=AEEC，AEEC=BGGC”中的“橋梁”——AEEC，繼而得到AFFD=BGGC.解題思路比較靈活，如果學生沒有學會平行線分線段成比例定理及其推論，將很難解決本題.

另外，學生在根據平行線分線段成比例定理列比例式時很容易犯“未對應”的錯誤.“對應”是學習與應用平行線分線段成比例定理時非常重要的前提，是邏輯思維與幾何直觀在該知識點上的體現.其實，這一點與全等三角形類似，全等三角形也需要找準對應點和對應邊.因此，教師不妨根據糾正全等三角形中對應錯誤的思路去糾正列比例式時出現的錯誤，從而幫助學生找準對應邊，逐步解決邏輯思維混亂的問題.

由此說明，作為一線教師，在講授新知識時一定要體現新舊知識之間的聯系[3].只有在舊知識上不斷啟發學生的思維，才能讓學生更容易理解新知，才能將新知理解和應用得更好[4].

總而言之，平行線分線段成比例定理及其推論可以是原型與變式之間的關系，也可以是基礎與拓展之間的關系，同時也可以看成是新舊知識相互銜接和滲透的關系.這就要求一線教師在日常教學中，要注重新舊知識間的聯系，以此讓學生不斷深化對知識的理解，為日后的應用奠定基礎.

參考文獻：

[1]謝裕宏.重視教材“探究活動”，專業自主增設課時——李庾南老師“平行線分線段成比例”課例賞析[J].中學數學，2015（8）：32-33.

[2]陳建均.微話題研討：尋找素材，追求和諧——以“平行線分線段成比例的基本事實”的探究為例[J].中學數學，2016（6）：21-23.

[3]胡孟.讓學生體會“基本事實”的合理性——以“平行線分線段成比例”基本事實的探究為例[J].湖南教育（C版），2019（3）：46-47.

[4]蔡鳳玲.利用“三同一不同”法巧記《平行線分線段成比例定理及推論》[J].數學學習與研究：初中，2002（7）：16-17.