數學教學中學生思維的啟發與培養

周勇軍 肖樂斌

摘要：米·伊·加里寧對中學生們說過“數學，可以讓大腦更有條理，并且培養思維的邏輯性”，這是對思維在數學中的地位與作用的高度概括.中學數學教學中在培養學生思維能力上應如何有所突破和提高？數學知識的獲取應是思維的結果，導出這些結果的思維過程，是培養邏輯思維的最佳時機和重要途徑.要想在教學過程中培養學生的思維能力就需要讓學生親自參與感知、分析、綜合，抽象、概括的過程，如果忽視學生的認識和思維過程，就會削弱思維能力的培養.本文中針對如何在獲取知識的過程中培養學生的思維能力提出幾點教學建議.

關鍵詞：思維；基本語言法；基本圖形法

1 教學中要注意知識的遷移

“以其所知，喻其不知，使其知之.”這句話說明了用已知去獲取新知的道理，后續知識既是新知識，又是已學知識的發展.數學教材通常在較多的例題前設計“準備題”與“復習題”，其目的也就是溝通新舊知識，讓學生聯系舊知識，學習新知識.因此，在教學新知識時，應充分利用教材知識的內在聯系，為學生指引一條由已知探求未知的道路，從而發展學生的邏輯思維能力.

例1? 比較下列兩個數的大小.

（1）-1.9，-2.1；? （2）-58，-98.

其實，比較1.9與2.1，58與98的大小，屬于小學數學內容.

在學習新知識時，先復習舊知識，弄清兩個正數的大小，再加上一個符號法則，新問題就迎刃而解了.這樣，立足于遷移，通過復習題，步步引導，促使學生了解新舊知識的聯系和變化，并正確表述自己的思維活動過程，由此提高學生的抽象概括能力，進而促進邏輯思維能力的發展.

2 代數課上用基本語言法引導學生思維

基本語言法是指將復雜的代數問題逐步轉化為簡單的、學生能求解的形式.它是代數課上啟發學生思維的重要方法之一.下面結合例題具體談談這種方法在啟導學生思維方面的具體運用.

例2? “x的3倍與y的差除以x與y的2倍的和的商”，如何列代數式.

運用基本語言法啟導學生思維，首先引導學生觀察題目結構.（用提問的方式啟發學生思維.）

問題? 同學們，你能說出這段文字表述中含有幾種運算嗎？（讓學生在思維活動前，對問題內容有初步的認識.）

學生都能很快回答有“差、和、商”.同時，提醒學生在這些關鍵字眼上作上記號.

接著進一步提問：誰能用最基本、最簡潔的語言說出這句話的大概意思呢？（讓學生在不自覺中運用基本語言法來找到思維的突破口.）

學生可能有兩種典型的回答：

（1）差除以x再加上y的2倍的和；

（2）差除以和的商.

通過引導學生分析，原題目要求的問題可最終落腳到一個“商”字上.進一步讓學生分析“到底是什么與什么的商呢？”學生很快會得出是“差與和的商”.其中，（1）的錯誤在于沒有把握住基本語言的核心“商”.

最后，向學生明確指出：實際上，大家剛才使用了一種將復雜的代數語言轉化為基本語言的方法，我們把這種方法稱為基本語言法.從上面的分析可以看出，基本語言法能讓我們迅速、準確地捕捉到問題的主要矛盾.只要抓住了主要矛盾，學生的思維活動就會自然而然地正常、活躍、有序的運轉.為了解決主要矛盾，學生思維的能動性就會自動地推動其思維活動去處理最需要解決的次要矛盾.對于例2，學生為了能解決“差除以和的商”就會自然地去求“誰的差”“誰的和”.

基本語言法是一種啟導與培養學生思維行之有效的方法.它以辯證唯物論中的矛盾論為理論依據.要掌握好這種方法，需要學生有較強的語言駕馭能力，能抓住問題的主要矛盾準確進行轉化.

為了能使學生對基本語言法有更清晰的認識，下面再給出一道文字語言少而數學語言多的題目.

例3? 設y=a（x2+2x+4）2+3a（x2+2x+4）+b的最小值是37，且x=-2時，y=57，求a，b的值.

對于此例，如何具體地引導學生運用基本語言法去分析、轉化這里不再贅述，這里僅將使用基本語言法的轉化過程整理如下.

通過思維，一般學生根據條件能夠將x＝-2，y=57代入原函數式化簡，整理得到28a+b=57.

原題可簡化為：

設y=a（x2+2x十4）2+3a（x2+2x+4）+b的最小值是37，且28a+b=57求a，b的值.

引導學生觀察函數式，為了簡化，設u=x2+2x+4，則u＝（x十1）2十3≥3.

進一步可簡化為：設y=au2+3au十b（u≥3）的最小值是37，且28a+b=57，求a，b的值.

將u=3代入y=au2十3au+b，得18a+b=37.

原題最后簡化為：

設18a+b=37，且28a+b=57，求a，b的值.

3 幾何課上用基本圖形法引導學生思維

基本圖形法是運用基本圖形探索幾何解題思路的一種方法.它有助于提高學生的幾何解題能力.

它的模式是：將問題分解或構造出若干個起主要作用的基本圖形，推出明顯（或隱藏）的性質，根據結論選擇組合，通過推理證明解決問題.

下面結合例子進行分析.

例4? 如圖1，ABCD中，AE平分∠BAD，BM平分∠ABC，CM平分∠BCD，DE平分∠ADC.

求證：四邊形MNEF是矩形.

引導學生審題，首先對題目的已知條件及整個圖形有一個大致的認識.這是運用基本圖形法的基礎.

問題1? 要證四邊形MNEF是矩形，只需證什么就行了？

學生的回答可能有多種，但都離不開證“四個角都是直角”.（這是啟動學生思維的開端.）

追問：四邊形MNEF的四個角是怎樣形成的？（這是引入基本圖形的關鍵，也是學生思維能否連續的關鍵點.）

學生一般都能回答：每個角都是由一對角平分線相交形成的，并且是由一組平行線的同旁內角形成的.

問題2? 一組平行線的同旁內角的平分線相交形成的角有什么特點呢？

這就自然將問題轉變到對基本圖形的探索上了：

（1）如圖2，已知AD∥BC，AN平分∠BAD，BN平分∠ABC.求證：AN⊥BN.

（2）如圖3，已知AB∥CD，BM平分∠ABC，CM平分∠BCD.求證：BM⊥CM.

為了能使學生對基本圖形法有更清楚的認識，下面再舉一個較復雜的例子.

例5? 如圖4，ABCD為圓內接四邊形，AC和BD交于點M，AE⊥BD于點E，BF⊥AC于點F.

求證：EF∥CD.

此題線條比較多，圖形較復雜，如何運用基本圖形法來啟導學生思維呢？其運用過程簡述如下：

第一步，要求學生在圖中尋找所要證的基本圖形是什么.學生不難找出所證圖形為圖5.

結合此基本圖特點，讓學生自己得出：要證EF∥CD，即證∠CDM=∠FEM.

第二步，根據第一步的結論，學生的思維就會轉向在原圖中尋找∠CDM與∠FEM.教師這時可以和學生共同分析，得出：

（1）∠CDM位于原圖的基本圖形是外圍圖形，如圖6.

隱含結論：∠CDM=∠BAM.要證∠CDM=∠FEM，即只需證∠FEM=∠BAM.

（2）∠FEM位于原圖的基本圖形是核心圖形，如圖7或圖8.

引導學生觀察，就會發現核心圖形中的隱含性質——Rt△ABF與△ABE共圓，深化核心圖形.

聯系第一步，最后確定要證∠FEM=∠BAM，這兩個角都在核心圖形中.學生此時的注意力就可全集中于該圖中，不難證明∠BAM=∠FEM.

第三步，學生根據結論，選擇組合完成整個幾何問題的證明.

從以上例子可以看出，基本圖形法運用得當，確實能使學生主動參與活動，準確有序地完成幾何問題的證明.

在數學教學中，注意新舊知識之間的聯系與遷移、基本數學語言中的核心字眼，融合基本圖形的應用與分解組合，對培養和啟發學生的思維有重要的作用.