例析帶電粒子在洛倫茲力作用下的多解問題

■重慶市巫溪縣中學校 劉顯平

不考慮重力的帶電粒子垂直射入勻強磁場中,帶電粒子在磁場中僅受洛倫茲力作用,將在與磁場方向垂直的平面內做勻速圓周運動。帶電粒子在洛倫茲力作用下運動時,會因受諸多因素的影響,而出現多解。分析多解問題的關鍵是明確形成多解的原因,并全面分析符合題意的各種可能性,避免漏解。下面歸納四種因素導致的帶電粒子在磁場中的多解問題的求解策略,希望對同學們的復習備考有所幫助。

一、因帶電粒子的電性不確定而導致的雙解問題的求解策略

電荷有正有負,在題目未明確指出受洛倫茲力作用的粒子是帶正電還是帶負電的情況下,粒子以一定的初速度垂直射入勻強磁場后在垂直于磁場方向的平面內將可能沿順時針方向做勻速圓周運動,也可能沿逆時針方向做勻速圓周運動,這樣就會導致出現雙解。

例1如圖1 所示,在平面直角坐標系Oxy的第一象限內分布著垂直于紙面向內的勻強磁場,磁感應強度為B。一帶電荷量為q、質量為m的粒子,以速度v沿與x軸正方向成30°角的方向,從坐標原點O射入磁場中,不計粒子自身重力,則粒子在磁場中的運動方向和運動時間分別為( )。

圖1

A.粒子沿逆時針方向做勻速圓周運動,在磁場中的運動時間為

B.粒子沿順時針方向做勻速圓周運動,在磁場中的運動時間為

C.粒子沿逆時針方向做勻速圓周運動,在磁場中的運動時間為

D.粒子沿順時針方向做勻速圓周運動,在磁場中的運動時間為

解析:因為不知粒子所帶電荷是正還是負,所以需要分兩種情況進行討論。若粒子帶正電,則根據左手定則可知,它僅在洛倫茲力作用下沿逆時針方向做勻速圓周運動,其運動軌跡如圖2 所示。根據幾何知識可知,粒子在磁場中的運動軌跡所對的圓心角θ1=120°。粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期,因此它在磁場中的運動時間。若粒子帶負電,同理可知,它僅在洛倫茲力作用下沿順時針方向做勻速圓周運動,其運動軌跡如圖3 所示。粒子在磁場中的運動軌跡所對的圓心角θ2=60°,粒子在磁場中的運動時間。

圖3

答案:AD

二、因磁場方向不確定而導致的雙解問題的求解策略

在題目只確定磁感應強度的大小,而未明確指出磁感應強度方向的情況下,帶電粒子以一定的初速度垂直射入勻強磁場后受到的洛倫茲力的方向將變得不確定,這樣就會導致出現雙解。

例2如圖4所示,一帶電荷量為-q、質量為m的電子在磁感應強度為B的勻強磁場(圖中未畫出)中繞固定的正電荷沿光滑軌道做勻速圓周運動。若勻強磁場方向垂直于電子運動軌跡所在平面,且作用于電子的靜電力恰好等于洛倫茲力的2倍,不計電子自身重力,則電子做圓周運動的角速度可能是( )。

圖4

解析:勻強磁場的方向可能垂直于紙面向里,也可能垂直于紙面向外,根據左手定則可知,電子在方向相反的兩種勻強磁場中受到的洛倫茲力方向也是相反的。在由固定的正電荷形成的電場中,電子受到的靜電力由電子所在位置指向正電荷。設軌道半徑為R,當電子受到的洛倫茲力與靜電力方向相同時,根據牛頓第二定律得,解得,因此電子做圓周運動的角速度。當電子受到的洛倫茲力與靜電力方向相反時,根據牛頓第二定律得,解得,因此電子做圓周運動的角速度。

答案:BD

三、因臨界狀態不唯一而導致的多解問題的求解策略

如圖5 所示,在長度為l的平行邊界MN、PQ之間分布著垂直于紙面向里的勻強磁場,邊界MN、PQ之間的距離為d,當帶電粒子從M、P兩點之間某一位置以某一初速度垂直于磁場方向飛入后,粒子在洛倫茲力的作用下可能從右側穿出磁場,也可能偏轉180°從左側穿出磁場,這樣就會導致出現多解。

圖5

例3如圖6 所示,足夠長平行邊界a、b之間分布著垂直于紙面向里的勻強磁場,磁場的寬度為L。一帶電荷量為+q、質量為m的粒子,以速率v0沿與邊界a成夾角θ的方向,從邊界a上的P點射入磁場中,不計粒子自身重力,求粒子從勻強磁場中射出所經歷的時間。

解析:粒子既可以從邊界b射出,也可以從邊界a射出,需要分兩種情況進行討論。根據帶電粒子所受洛倫茲力提供它做勻速圓周運動所需的向心力得,解得。若粒子恰能從邊界a射出,則粒子的運動軌跡如圖7 所示,根據幾何關系得L=R(1+cosθ)。因此當時,粒子將從邊界a射出,所經歷的時間,又有,解得。當時,粒子將從邊界b射出。若粒子從邊界b射出,則粒子的運動軌跡如圖8 所示,根據幾何關系得L=R(cosθ+sinβ),粒子在磁場中的運動軌跡所對的圓心角,粒子從勻強磁場中射出所經歷的時間,且。

圖7

圖8

四、因運動具有周期性而導致的多解問題的求解策略

帶電粒子在勻強磁場中做周期性的勻速圓周運動,或在周期性變化的磁場中做往復運動,都將會導致出現多解。求解因運動具有周期性而導致的多解問題,可以借助分析第一個周期內粒子的運動規律,找到周期性運動的通解,以及需要滿足的限定條件,進而將通解變為有限個解或單一解。

例4如圖9甲所示,間距為l的M、N兩塊平行金屬板豎直放置,兩金屬板中央各有一個小孔O、O',兩小孔正對。兩金屬板間分布著垂直于紙面方向的磁場,磁感應強度隨時間的變化規律如圖9乙所示。一群質量為m、帶電荷量為-q的粒子在t=0時刻垂直于磁場方向從小孔O射入磁場,已知負粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期與磁感應強度變化的周期相同,均為T0。不考慮因磁場變化而產生的電場影響,不計粒子自身重力和粒子之間的相互作用。

圖9

(1)求磁感應強度B0的大小。

(2)要使負粒子從小孔O'垂直于N板射出磁場,求負粒子射入磁場時的速度v0的可能值。

解析:設垂直于紙面向外的磁場方向為正方向,兩金屬板間的距離l足夠大,則粒子在t=0時刻垂直于M板從小孔O射入磁場后,將在時間內沿逆時針方向做周的勻速圓周運動,在時間內沿順時針方向做周的勻速圓周運動,在時間內沿逆時針方向做周的勻速圓周運動,然后重復0～T0時間內的運動。

(1)負粒子在磁場中僅受洛倫茲力作用做勻速圓周運動,設粒子的運動速度為v,運動軌跡半徑為R,根據洛倫茲力提供向心力得,又有負粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期,解得。

(2)根據負粒子在磁場中的運動規律可知,要使負粒子從小孔O'垂直于N板射出磁場,則它射入磁場時的速度v0的方向如圖10所示,若負粒子在兩金屬板之間只完成一個周期T0內的運動就從小孔O'垂直于N板射出磁場,則,又有,,解得。若負粒子在兩金屬板之間完成n個周期nT0內的運動再從小孔O'垂直于N板射出磁場,則,解得。綜上,滿足題意的負粒子射入磁場時速度的可能值。

圖10

總結:帶電粒子在洛倫茲力的作用下會受不同因素的影響而出現多解問題,求解帶電粒子的多解問題時,需要先根據已知條件,確定形成多解的原因,再根據粒子的運動規律,作出粒子的運動軌跡示意圖,全面考慮滿足題目條件的多種可能性,最后根據粒子滿足的物理規律列式求解。