例談求解疊加電場的電場強度的策略

■安徽省廬江二中 吳 欣

以孤立點電荷為場源產生的電場是最簡單的靜電場,設場源電荷的電荷量為Q,則在其產生的電場中距離它為r處的電場強度。若場源不是單一點電荷,則求其產生電場的電場強度就需要一定的技巧。下面歸納求解疊加電場的電場強度的三種常見方法,供同學們參考。

一、矢量疊加法

若場源是多個點電荷,則電場中某點的電場強度等于各個點電荷單獨在該點產生的電場強度的矢量和。若場源是一個比較大的不能視為點電荷的帶電體,則可以采用微元法先將帶電體分成足夠小的若干小塊,將每一小塊視為點電荷,再用點電荷電場強度疊加法計算帶電體產生電場的合場強。該方法適用于多個任意電場在空間某點產生電場的合場強的求解。

例1如圖1 所示,真空中兩個等量異種點電荷固定在水平方向上的A、B兩點,相距為r,若正點電荷固定在A點,負點電荷固定在B點,兩點電荷的電荷量大小均為Q,則下列判斷中正確的是( )。

圖1

A.兩點電荷連線中點處的場強大小為0

C.與兩點電荷相距均為r處的場強大小為,方向豎直向上

D.與兩點電荷相距均為r處的場強大小為,方向水平向右

解析:如圖2所示,設兩點電荷在其連線中點M處產生的場強大小分別為E1和E2,方向均由正點電荷指向負點電荷,則,根據矢量疊加法得其連線中點處的合場強大小,方向水平向右,選項A 錯誤,B 正確。設兩點電荷在與其相距均為r處P點產生的場強大小分別為E3和E4,兩矢量的夾角為120°,則與兩點電荷相距均為r處的合場強大小,方向平行于兩點電荷連線,且由正點電荷指向負點電荷,即水平向右,選項C、D錯誤。

圖2

答案:B

二、對稱補償法

若場源是非對稱分布的不可視為點電荷的帶電體A,直接求其產生電場的電場強度比較困難,則可以采用補償法先將不對稱的帶電體A補上一個B,使其成為一個方便直接應用定理或公式進行求解的對稱分布的帶電體A+B,且補上的B也是方便求解的,這樣帶電體A產生電場的電場強度就等于帶電體A+B與B產生電場的電場強度之差。

例2如圖3所示,A、B、C、D、E、F是半徑為r的圓周上等間距分布的六個點,在這六個點上各固定一個點電荷,其中A點處點電荷的電荷量為+q,其余五個點電荷的電荷量均為-q,則圓心O處的電場強度為( )。

圖3

解析:設想在A點處同時放一個電荷量為-q的點電荷和一個電荷量為+2q的點電荷,代替原來電荷量為+q的點電荷,這樣圓周上對稱分布的六個電荷量為-q的點電荷在圓心O處產生電場的合場強E1=0,電荷量為+2q的點電荷在圓心O處產生電場的場強大小,方向沿AO連線方向。根據矢量運算法則可知,題設六個點電荷在圓心O處產生的電場的場強大小,方向沿AO連線方向。

答案:D

點評:從對稱性的角度分析物理過程,求解物理問題,往往可以避開冗長的數學求解過程,達到化繁為簡、化難為易的目的。補償法的本質就是通過巧妙補充,將不具有對稱性的物理模型轉化為兩個具有對稱性的物理模型,以便于一些物理定理或公式的直接應用。

三、極限特殊值法

若疊加電場的電場強度用常規方法難以直接求解,而利用極限法把某個物理量推向極端求得特殊值,則可以根據特殊值合理推斷出一般結論。該方法一般適用于求解定性判斷型選擇題。

例3如圖4所示,一半徑為R的圓環上均勻地分布著電荷量為Q的電荷,在垂直于圓環平面的對稱軸上有一點P,它與環心O之間的距離為L。已知靜電力常量為k,下列關于P點的電場強度E的四個表達式中有一個是正確的。請你根據所學知識,通過分析判斷這個正確的表達式是( )。

圖4

解析:當R=0時,均勻帶電圓環等同于一個所有電荷量集中于環心O的點電荷,根據孤立點電荷產生電場的電場強度計算公式可知,P點的電場強度大小。將R=0 代入四個選項進行驗證,只有選項A、D 滿足。當L=0時,P點與O點重合,均勻帶電圓環產生的電場在環心O處的電場強度E=0。將L=0代入A、D 兩選項進行驗證,只有選項D 滿足。

答案:D

點評:利用極限特殊值法求解疊加電場的電場強度時,需要先判斷哪些量是可以推向極端的,再確定可以推向的極端是趨于零還是趨于無窮大。本題中將R、L推向極值零,得出P點的電場強度,分別代入四個選項即可判斷哪個表達式是正確的。

跟蹤訓練

1.如圖5所示,正方體的八個頂點處分別固定著電荷量為+q和-q的點電荷,正方體范圍內電場強度為零的點分別是( )。

圖5

A.體中心、各面中心和各邊中點

B.體中心、各頂點和各邊中點

C.體中心和各面中點

D.體中心和各邊中心

2.一半徑為R的半球面上均勻分布著電荷量為Q的正電荷,電荷Q在球心O處產生的電場的電場強度大小。把半球面分為表面積相等的上、下兩部分,如圖6甲所示,上、下兩部分表面所帶電荷在球心O處產生電場的電場強度大小分別為E1、E2;把半球面分為表面積相等的左、右兩部分,如圖6乙所示,左、右兩部分表面所帶電荷在球心O處產生電場的場強大小分別為E3、E4。下列判斷正確的是( )。

圖6

3.如圖7 所示,一個內、外半徑分別為R1和R2的圓環狀均勻帶電平面,其單位面積帶電荷量為q。取環面中心O為原點,以垂直于環面的軸線為x軸,設軸上任意點P到O點的距離為x,P點的電場強度大小為E,靜電力常量為k。下列關于E的四個表達式中只有一個是合理的。請你根據所學知識,通過分析判斷這個合理的表達式是( )。

圖7

參考答案:1.C 2.D 3.B