基于數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用的高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究*

程琨 （景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué)信息工程學(xué)院）

高等數(shù)學(xué)是高等院校理工科一門(mén)重要的基礎(chǔ)理論課程，其內(nèi)容豐富，理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，影響深遠(yuǎn)。李克強(qiáng)總理在2018 年1 月3 日的國(guó)務(wù)院常務(wù)會(huì)議上指出：“數(shù)學(xué)是我國(guó)科學(xué)研究的重要基礎(chǔ)。無(wú)論是人工智能還是量子通信等，都需要數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科作有力支撐。我們之所以缺乏重大原創(chuàng)性科研成果，卡脖子就是卡在基礎(chǔ)學(xué)科上。”[1]然而，由于高等數(shù)學(xué)課程具有知識(shí)點(diǎn)多、難度大、理論抽象等特點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)壓力都較大。例如，學(xué)生在初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，所面對(duì)的往往是離散的、有限的、線(xiàn)性的問(wèn)題。而高等數(shù)學(xué)課程中所處理的往往是連續(xù)的、無(wú)限的、非線(xiàn)性的問(wèn)題。這就需要學(xué)生的思維認(rèn)知有從有限到無(wú)限、從離散到連續(xù)的轉(zhuǎn)換。此外，高等數(shù)學(xué)中的分類(lèi)與整合、劃歸與轉(zhuǎn)換、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思維也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大障礙。以上原因?qū)е潞芏鄬W(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中產(chǎn)生了畏難的情緒，對(duì)高等數(shù)學(xué)這門(mén)課程毫無(wú)興趣。然而，作為其他專(zhuān)業(yè)課的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)的重要性不言而喻。學(xué)生若無(wú)法理解高等數(shù)學(xué)的思維，即使在考試中僥幸過(guò)關(guān)，在后續(xù)其他專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)中依然會(huì)暴露出根基不牢固的缺陷。因此，如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力一直是當(dāng)今高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要課題。近年來(lái)，許多學(xué)者也對(duì)其進(jìn)行了行之有效的探討。[2-4]

近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，涌現(xiàn)出一大批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件，例如Matlab、GeoGebra、Mathematica、Maple 等。這些軟件在解決許多實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題中發(fā)揮著重要的作用。同時(shí)，利用這些軟件的信息化和可視化功能對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行輔助，可以極大地引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。此外，這些軟件強(qiáng)大的編程和計(jì)算功能也能幫助學(xué)生解決更多實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

本文將基于GeoGebra 和Matlab 這兩款數(shù)學(xué)軟件，對(duì)高等數(shù)學(xué)的信息化和可視化教學(xué)進(jìn)行探究。對(duì)比這兩款軟件，其側(cè)重點(diǎn)各有不同。GeoGebra 作為一款優(yōu)秀的動(dòng)態(tài)幾何軟件，它最大的特點(diǎn)在于可以動(dòng)態(tài)地演示高等數(shù)學(xué)中的許多定義，例如極限、定積分、級(jí)數(shù)等。從而在學(xué)生的腦海中刻畫(huà)這些定義，加強(qiáng)對(duì)這些概念的理解和推廣。Matlab 作為一款專(zhuān)業(yè)的工程數(shù)學(xué)軟件，其強(qiáng)大的計(jì)算功能可以幫助學(xué)生擺脫復(fù)雜的計(jì)算。同時(shí)，其強(qiáng)大的編程功能可以幫助學(xué)生利用抽象的知識(shí)去解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

一、數(shù)學(xué)軟件簡(jiǎn)介

本節(jié)將簡(jiǎn)單介紹GeoGebra 和Matlab 這兩款數(shù)學(xué)軟件。此外，由于兩款軟件的側(cè)重點(diǎn)不同，我們還將其進(jìn)行簡(jiǎn)單的對(duì)比，以得出在不同場(chǎng)景下兩者如何取舍。

（一）GeoGebra 軟件簡(jiǎn)介

GeoGebra 是一套包含處理幾何、代數(shù)、微積分等功能的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件。它是由奧地利數(shù)學(xué)家Markus Hohenwarter 以及其開(kāi)發(fā)團(tuán)隊(duì)，為了讓全世界的校園都可免費(fèi)使用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件而共同開(kāi)發(fā)的。GeoGebra 的軟件名是由“Geo”+“Gebra”組成，其意思為幾何（Geometry）與代數(shù)（Algebra）。該軟件具有開(kāi)源、體積小、動(dòng)態(tài)可視化等優(yōu)點(diǎn)，并且相較于其他數(shù)學(xué)軟件，GeoGebra 的操作比較容易上手。因此，GeoGebra 在中小學(xué)和大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。[5-7]

GeoGebra 的軟件界面分為代數(shù)區(qū)和繪圖區(qū)，其代數(shù)功能和動(dòng)態(tài)幾何作圖功能可以幫助學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)中的各種對(duì)象（點(diǎn)、線(xiàn)、面、方程）有直觀理解。此外，在繪圖區(qū)任意空白處點(diǎn)擊可以構(gòu)建一個(gè)數(shù)值的滑動(dòng)條，通過(guò)拖動(dòng)滑動(dòng)條可以使得研究對(duì)象產(chǎn)生直觀的動(dòng)態(tài)變化。借助此軟件，我們可以設(shè)計(jì)極限、定積分等定義里面一系列動(dòng)態(tài)過(guò)程，例如，數(shù)列動(dòng)態(tài)逼近、定積分的細(xì)分求和、圖形的相交旋轉(zhuǎn)等。以上種種優(yōu)點(diǎn)，有利于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于概念的理解以及激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)研究興趣。此外，作圖生成的“ggb”文件非常小巧（幾十Kb 至一百Kb），可以嵌入PPT 中。該軟件也有豐富的教學(xué)資源，教師可以方便地加以利用。

（二）Matlab 軟件簡(jiǎn)介

Matlab 軟件是美國(guó)MathWorks 公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，其名稱(chēng)是由“Matrix”“Laboratory”兩個(gè)單詞組合而成，意為矩陣實(shí)驗(yàn)室。作為一款專(zhuān)業(yè)的工程類(lèi)數(shù)學(xué)軟件，它將矩陣計(jì)算、數(shù)值分析、非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模與仿真和科學(xué)數(shù)據(jù)可視化等一系列強(qiáng)大的功能集成在一個(gè)視窗環(huán)境中，為科研、工程設(shè)計(jì)等眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了強(qiáng)大的幫助。Matlab 的強(qiáng)大功能在此我們不進(jìn)行過(guò)多贅述，讀者可以參考專(zhuān)業(yè)書(shū)籍。[8]

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們可以將Matlab 有效合理地融入其中。[9-11]一方面，這可以幫助學(xué)生省去一些煩瑣的計(jì)算，另一方面，其引導(dǎo)了學(xué)生學(xué)習(xí)一款實(shí)用軟件、練習(xí)了編程技巧和提高了利用高數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（三）兩款軟件對(duì)比

兩款軟件各有優(yōu)點(diǎn)，并無(wú)孰優(yōu)孰劣之分，我們需要在不同的場(chǎng)景下合理地選擇不同的軟件。例如，在高等數(shù)學(xué)的許多概念教學(xué)中，可以借助GeoGebra 對(duì)定義進(jìn)行動(dòng)態(tài)化、直觀化的表述。而當(dāng)涉及一些復(fù)雜的計(jì)算，例如微分方程的求解等，Matlab 強(qiáng)大的計(jì)算以及仿真模擬功能可以幫助我們快速得出結(jié)果并對(duì)其進(jìn)行分析。

二、GeoGebra 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

（一）GeoGebra 融入定積分的教學(xué)過(guò)程

定積分是學(xué)生正式進(jìn)入積分學(xué)的學(xué)習(xí)，而要使得學(xué)生了解定積分的本質(zhì)，幾何直觀圖形的展示是必不可少的。在此，教師可以利用GeoGebra 軟件來(lái)生動(dòng)講述有關(guān)內(nèi)容。這不僅能讓同學(xué)們感悟到積分學(xué)的魅力，而且能了解到GeoGebra 功能的強(qiáng)大。

案例1：定積分定義的幾何動(dòng)態(tài)展示

我們以∫01x3dx這 一 積 分 為 例 子。首 先，在GeoGebra 軟件中輸入函數(shù)f（x）x3，并把[0,1]區(qū)間等分成n份，其中n設(shè)置成滑動(dòng)條。分別計(jì)算其即上積分與即下積分。觀察到隨著n的增大，兩者都會(huì)越來(lái)越逼近曲邊三角形的面積，圖1 和圖2 分別表示在分割n=10 和n=100 情形下，上積分、下積分與曲邊三角形面積的關(guān)系。

圖1 n=10 的情形

圖2 n=100 的情形

借助這個(gè)例子，學(xué)生可以很直觀地理解定積分思想，即分割、求和、取極限，從而理解定積分的定義。

（二）GeoGebra 融入Fourier 級(jí)數(shù)的教學(xué)過(guò)程

作為高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，F(xiàn)ourier 級(jí)數(shù)在光學(xué)、電學(xué)、聲學(xué)等都有極為廣泛的應(yīng)用。利用GeoGebra 來(lái)刻畫(huà)動(dòng)態(tài)的逼近過(guò)程，一方面能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到Fourier 級(jí)數(shù)的主要思想，另一方面也能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)之美。

案例2：函數(shù)展開(kāi)成Fourier 級(jí)數(shù)。

為例：首先在GeoGebra 軟件中輸入該函數(shù)，設(shè)置滑動(dòng)條n，在代數(shù)區(qū)輸入變量A=序列（f(x)((cos(nx)/(π)),-π,π),n,0,N）以 及B= 序 列（f(x)((sin(nx)/(π)),-π,π),n,1,N）。最后，根據(jù)Fourier 級(jí)數(shù)的展開(kāi)表達(dá)式，我們可以輸入系數(shù)AO=(( 元素(A,1)/(2))，AX= 序列((元素(A,n+1)cos(nx),n,1,N)以及BX=序列((元素(B,n)sin(nx),n,1,N)，則F(x)=AO+總和(AX)+總和(BX)。通過(guò)移動(dòng)滑動(dòng)條，學(xué)生可以觀察到取Fourier 級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)逼近到函數(shù)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，見(jiàn)圖3 和4。學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)，該級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和隨著n的增大，越來(lái)越接近給定的函數(shù)f(x)。并且在f(x)的間斷點(diǎn)處，級(jí)數(shù)的和為，此即為Dirichlet 定理的結(jié)論。

圖3 Fourier 級(jí)數(shù)取前10 項(xiàng)的情形

圖4 Fourier 級(jí)數(shù)取前100 項(xiàng)的情形

三、Matlab 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

常微分方程是高等數(shù)學(xué)中最體現(xiàn)微積分價(jià)值的一部分。諸多的實(shí)際問(wèn)題都可以利用數(shù)學(xué)建模來(lái)轉(zhuǎn)化成常微分方程求解，并解釋實(shí)際問(wèn)題所體現(xiàn)的客觀現(xiàn)象。常微分方程在很多實(shí)際問(wèn)題上是很難求出解析解的，因此如何利用好Matlab 來(lái)求數(shù)值解顯得更為重要。

案例3：（導(dǎo)彈追擊問(wèn)題）假設(shè)導(dǎo)彈A 距離正在以最大速度行駛的船艦B 1km 處,且船艦勻速向前行駛而導(dǎo)彈頭始終指向船艦，一段時(shí)間過(guò)后，最終將其擊落。不妨考慮船艦以2km/h 的最大速度直線(xiàn)勻速行駛，而導(dǎo)彈速度始終為10km/h。求解船艦在相距導(dǎo)彈1km 時(shí)需要多久才能擊落船艦以及此時(shí)船艦?zāi)苄旭偠噙h(yuǎn)。

解：建立直角坐標(biāo)系，可以假定導(dǎo)彈A 位于原點(diǎn)處，船艦B 位于（1,0）處。設(shè)在T 時(shí)刻導(dǎo)彈位于坐標(biāo)中的點(diǎn)M(x(T),y(T))處，此時(shí)船艦B 位于點(diǎn)N(1,2T)處。由條件容易得到微分方程：。

結(jié)合初始條件并利用Matlab 求解，其代碼如下：

syms y(x);

g=1/5.*sqrt(1+diff(y,x,1).^2);

f=(1-x).*diff(y,x,2);

Dy = diff(y,x);

cond = [y(0)==0, Dy(0)==0];

ySol= dsolve(f==g, cond);

ySol = simplify(ySol)

ezplot(ySol(2),[-0.1,1.1])

title(' ');

hold on

plot([1,1],ylim,‘m—’);

text(0.3,0.04,‘導(dǎo)彈軌跡’;,‘FontSize’,14);

text(0.78,0.02,‘船艦軌跡’,‘FontSize’,14);

由上述程序可求得方程的解為

其 軌 跡 如 圖5 所 示。將x=1 代 入，利 用Matlab 計(jì) 算 出y的 值，得 出y(1)=0.2083。從 而T=y(1)/2=0.1042h，這表明了在大約6 分鐘后擊落，而此刻船艦行駛了208.3m。

圖5 導(dǎo)彈軌跡的二維圖

四、結(jié)語(yǔ)

本文介紹了GeoGebra 和Matlab 這兩款數(shù)學(xué)軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的應(yīng)用。讓學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)充滿(mǎn)興趣并且能扎實(shí)掌握并熟練運(yùn)用高數(shù)知識(shí)一直是高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要目的之一。然而，在高等數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)課堂教學(xué)中，往往是教師利用黑板或者PPT 灌輸式地將理論、知識(shí)、證明技巧等傳授給學(xué)生。借助GeoGebra 和Matlab 這兩款數(shù)學(xué)軟件，教師可以將高等數(shù)學(xué)中的很多概念通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法形象直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解并激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。結(jié)合近年來(lái)的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這兩款軟件更適合線(xiàn)上線(xiàn)下混合使用模式。教師在線(xiàn)上對(duì)軟件的使用做了具體的演示，學(xué)生在線(xiàn)下可以利用軟件豐富的網(wǎng)絡(luò)資源鞏固和拓展所學(xué)到的知識(shí)。將數(shù)學(xué)軟件引入高等數(shù)學(xué)教育的課堂后，也對(duì)教師提出了更高的要求。教師必須熟練地使用GeoGebra、Matlab、Mathematica 等數(shù)學(xué)軟件，并將其有機(jī)地融入教學(xué)中。只有這樣，才能把傳統(tǒng)的“教師主宰性”課堂轉(zhuǎn)換為師生探究型課堂，從而提高教學(xué)質(zhì)量以及推動(dòng)高等數(shù)學(xué)課堂的現(xiàn)代化發(fā)展。