基于松弛法的TIADC 綜合誤差的自適應(yīng)估計(jì)與校準(zhǔn)*

李雪濤，羅向東

(南通大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，江蘇 南通 226019)

隨著現(xiàn)代電子信號(hào)復(fù)雜度的迅速增高，現(xiàn)如今電子測量儀器和雷達(dá)等現(xiàn)代通信系統(tǒng)對(duì)模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog to Digital Converter，ADC)有了更高的要求:需要ADC 提供更高的采樣精度以及采樣速度從而對(duì)寬帶信號(hào)和大動(dòng)態(tài)信號(hào)進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換。但由于器件制造工藝以及采樣原理的限制，單片ADC 無法保證高速與高精度的同時(shí)滿足。時(shí)間交織模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Time-Interleaved-Analog to Digital Converter，TIADC)并行采樣技術(shù)[1]可以最為有效地實(shí)現(xiàn)在最大限度地提高采樣速度的同時(shí)保持采樣精度不變。其通過系統(tǒng)時(shí)鐘控制TIADC 系統(tǒng)中的各個(gè)子ADC 的分時(shí)采樣從而突破高速與高精度相互制約的難題。但是，工藝偏差以及通道間的不匹配都將產(chǎn)生通道間的失配誤差，譬如各子通道ADC 所存在的孔徑抖動(dòng)引起的時(shí)間失配誤差、各子通道ADC 的參考電壓失配引起的增益誤差以及通道間的不匹配引起的偏置誤差都將嚴(yán)重降低TIADC 中的性能指標(biāo):信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)和無雜散動(dòng)態(tài)范圍(Spurious Free Dynamic Range，SFDR)[2]。因此如何估計(jì)并校準(zhǔn)TIADC 系統(tǒng)中各子ADC 間的失配誤差成為國內(nèi)外ADC 數(shù)據(jù)通信領(lǐng)域所共同關(guān)注的熱點(diǎn)問題。

多年來，針對(duì)TIADC 系統(tǒng)中各通道間失配誤差的估計(jì)與校準(zhǔn)研究已有許多較為有效的方法存在。文獻(xiàn)[3]使用盲估計(jì)的方法對(duì)時(shí)間失配誤差進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)精度較高，但其設(shè)計(jì)過程較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[4]利用輸入信號(hào)的自相關(guān)特性對(duì)TIADC 系統(tǒng)的時(shí)間失配誤差進(jìn)行估計(jì)和校準(zhǔn)。文獻(xiàn)[5-8]使用濾波器組對(duì)TIADC 系統(tǒng)進(jìn)行失配誤差校準(zhǔn)，此方法校準(zhǔn)精度較高但其局限性在于其只校準(zhǔn)時(shí)間失配誤差。文獻(xiàn)[9]針對(duì)增益失配誤差的估計(jì)提出了一種可行的解決方案。當(dāng)TIADC 系統(tǒng)中的失配誤差隨著器件老化以及環(huán)境變化而發(fā)生變化時(shí)，有必要考慮自適應(yīng)跟蹤估計(jì)與校準(zhǔn)。文獻(xiàn)[10-11]針對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間失配誤差使用了自適應(yīng)補(bǔ)償算法進(jìn)行校準(zhǔn)，文獻(xiàn)[12]采用正弦波擬合的算法估計(jì)出子ADC 的增益、偏置和時(shí)間失配誤差，但這種方法的誤差估計(jì)精度取決于輸入的正弦測量信號(hào)的精度。雖說目前對(duì)TIADC 通道失配誤差的校準(zhǔn)方法在一定程度上得到了改善，然而這些研究當(dāng)中主要都是針對(duì)時(shí)間失配誤差或者其中一項(xiàng)失配誤差進(jìn)行設(shè)計(jì)卻忽略了三種失配誤差同時(shí)存在時(shí)帶來的綜合影響，除此之外大多數(shù)的研究都只是局限在低精度(16 bit 以下)背景下進(jìn)行，而在高分辨率的TIADC 系統(tǒng)(18 bit 以上)中，由于系統(tǒng)中的誤差較難提取估計(jì)，并且失配誤差引起的影響較為惡劣，以上許多方法無法適用在高分辨率的TIADC 系統(tǒng)之中。

為了實(shí)現(xiàn)一次性對(duì)高精度(18 bit 以上)TIADC系統(tǒng)中存在的三種失配誤差進(jìn)行估計(jì)，本文基于松弛法對(duì)自適應(yīng)估計(jì)算法進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)對(duì)TIADC 系統(tǒng)存在的通道失配誤差自適應(yīng)估計(jì)，即采用松弛法[13]根據(jù)最小均方誤差(Least Mean Squares，LMS)準(zhǔn)則將三參數(shù)的非線性性能函數(shù)優(yōu)化問題解耦轉(zhuǎn)換成三個(gè)單參數(shù)的性能函數(shù)優(yōu)化問題；并且運(yùn)用Farrow 結(jié)構(gòu)的分?jǐn)?shù)延時(shí)(Fraction Delay，F(xiàn)D)濾波器[14]實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的時(shí)間失配調(diào)整。本文通過對(duì)24 bit 四通道TIADC 系統(tǒng)仿真驗(yàn)證得出誤差校準(zhǔn)精度較為理想，以此證明了該方法的有效性。

1 TIADC 誤差建模

TIADC 系統(tǒng)由M個(gè)完全相同的子ADC 組成，各子ADC 通過采樣時(shí)鐘分頻實(shí)現(xiàn)并行采樣，最后使用多路選擇器(MUX)將它們各自的輸出交替輸出，以此實(shí)現(xiàn)成倍的提高采樣率，如圖1 所示。

圖1 M 通道TIADC 原理圖

根據(jù)TIADC 系統(tǒng)主要存在的三種通道失配誤差(增益、偏置與時(shí)間失配誤差)，建立其誤差模型，如圖2 所示。

圖2 具有增益、偏置和時(shí)間失配的M 通道TIADC 模型

其中k代表子ADC 的索引號(hào)，Ts為整個(gè)TIADC系統(tǒng)的采樣周期；gk和ok分別代表子通道ADCk所存在的增益失配誤差和偏置失配誤差，而Δtk則代表ADCk相對(duì)參考通道ADC0所存在的時(shí)間失配誤差。本文中，假設(shè)系統(tǒng)的模擬輸入信號(hào)x(t)為一個(gè)單頻正弦信號(hào)，則該信號(hào)在理想時(shí)域中的表達(dá)式為:x(t)＝sin(2πfint)，其中fin為系統(tǒng)的輸入頻率。在理想TIADC 系統(tǒng)中，此時(shí)第k通道樣本輸出序列ADCk則為在tk＝(nM+k)Ts時(shí)刻對(duì)x(t)信號(hào)采樣所得，即:y[n]＝(x(nM+k)Ts)。那么，TIADC 的系統(tǒng)輸出序列則為:

由于三種誤差的存在，系統(tǒng)的實(shí)際輸出序列則為:

已知非均勻度dk為通道k的時(shí)間誤差Δtk與系統(tǒng)采樣周期的比值，即

將上式代入輸出序列公式得:

2 基于松弛法的TIADC 失配誤差自適應(yīng)綜合估計(jì)算法

2.1 自適應(yīng)綜合估計(jì)系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)

自適應(yīng)控制系統(tǒng)由控制模塊、被控模塊、以及自適應(yīng)控制器組成。自適應(yīng)綜合估計(jì)系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖3 所示。在系統(tǒng)中，設(shè)期望信號(hào)為d，系統(tǒng)的輸出為y，則誤差信號(hào)error＝d-y。隨后再根據(jù)一定的優(yōu)化準(zhǔn)則，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)輸出的調(diào)整，進(jìn)而使其逼近期望響應(yīng)。在TIADC 系統(tǒng)中，將通道0 的輸出作為TIADC系統(tǒng)各子ADC 的期望響應(yīng)(g0＝1，o0＝0，d0＝0)，各子ADC 的輸出信號(hào)yk[n]則為待校準(zhǔn)的信號(hào)，輸入到自適應(yīng)系統(tǒng)之中。

圖3 誤差估計(jì)原理框圖

yk[n]經(jīng)過一2P1階的sinc 插值濾波器進(jìn)行插值移位，時(shí)延kTs后，經(jīng)過分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器，輸出校準(zhǔn)信號(hào)yc[n]。

hFD(n，d)為FD 濾波器的系數(shù)矩陣，代入式(4)得:

式中:θ為未知參數(shù)的向量。

2.2 基于LMS 算法與松弛法實(shí)現(xiàn)對(duì)誤差參數(shù)的綜合估計(jì)

基于最小均方準(zhǔn)則，通過使誤差函數(shù)的均方誤差最小，實(shí)現(xiàn)對(duì)通道失配誤差的估計(jì)。LMS 算法的代價(jià)函數(shù)如下:

然后，基于最速下降的性能函數(shù)搜索方法以及梯度技術(shù)，得出自適應(yīng)系統(tǒng)的參數(shù)控制方程:

將上式代入式(9)得三個(gè)參數(shù)的更新函數(shù)分別為:

2.3 分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器

分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器可以很好地實(shí)現(xiàn)離散時(shí)間內(nèi)的內(nèi)插，從而逐漸與期望頻率響應(yīng)e-jωd相逼近。此外濾波器的結(jié)構(gòu)無需因?yàn)檠訒r(shí)分?jǐn)?shù)d發(fā)生變化而重新設(shè)計(jì)，其自身可通過實(shí)時(shí)調(diào)整為信號(hào)提供動(dòng)態(tài)的分?jǐn)?shù)延時(shí)補(bǔ)償，本篇文章使用Farrow 結(jié)構(gòu)的分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器[14]進(jìn)行分?jǐn)?shù)延時(shí)。FD 濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)為:

式中:D為平均群時(shí)延，d為分?jǐn)?shù)延時(shí)參數(shù)，ωd為通帶頻率；濾波器的傳遞函數(shù)為:

為了實(shí)現(xiàn)可變分?jǐn)?shù)延時(shí)功能，基于多項(xiàng)式逼近原則，采用M階的關(guān)于d的多項(xiàng)式來近似濾波器的系數(shù)hn(d)即:

其結(jié)構(gòu)如圖4 所示。

圖4 Farrow 結(jié)構(gòu)FD 濾波器

使用MATLAB[15]提供的優(yōu)化工具箱中的minimax函數(shù)，可得FD 濾波器系數(shù)Cm(z)。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

為驗(yàn)證算法的有效性，使用MATLAB 軟件對(duì)所提出的算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，采用24 bit 四通道TIADC 系統(tǒng)仿真模型，并在仿真過程中加入高斯白噪聲。讓采樣系統(tǒng)保持一定的非均勻性dk＝[0，0.2，0.3，0.035]，gk＝[1，1.1，1.2，1.25]，ok＝[0，0.035，0.040，0.045]。經(jīng)過自適應(yīng)估計(jì)系統(tǒng)后，圖5為均方誤差的優(yōu)化過程，圖6～圖8 分別為ADC1通道、ADC2通道及ADC3通道的時(shí)間誤差、增益誤差和偏置誤差隨迭代次數(shù)的收斂過程。

圖5 均方誤差優(yōu)化過程

圖6 ADC1 通道的時(shí)間、增益、偏置誤差隨迭代次數(shù)的收斂圖

圖7 ADC2 通道的時(shí)間、增益、偏置誤差隨迭代次數(shù)的收斂圖

圖8 ADC3 通道的時(shí)間、增益、偏置誤差隨迭代次數(shù)的收斂圖

表1～表2 分別為系統(tǒng)四個(gè)通道的誤差初始值以及使用所提算法檢測到的時(shí)間誤差、增益誤差以及偏置誤差的估計(jì)值。

表1 四通道TIADC 系統(tǒng)誤差初始值

表2 基于所提算法估計(jì)所得四通道誤差

進(jìn)行誤差校準(zhǔn)前系統(tǒng)的輸出時(shí)域波形圖與頻域波形圖如圖9 所示。

圖9 誤差校準(zhǔn)前系統(tǒng)的時(shí)域與頻域波形圖

將估計(jì)出的各項(xiàng)誤差值反饋到校準(zhǔn)系統(tǒng)后，TIADC 系統(tǒng)的輸出時(shí)域圖和頻域圖如圖10 所示。

圖10 校準(zhǔn)后系統(tǒng)的時(shí)域與頻域波形圖

通過分析結(jié)果可以看出，采用所提方法可以很好地同時(shí)估計(jì)通道中存在的偏置、增益和時(shí)間失配誤差，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，系統(tǒng)從未校準(zhǔn)前的信噪比23.61 dB 提升到校準(zhǔn)后的96.73 dB，無雜散動(dòng)態(tài)范圍從26.44 dB，提升到97.31 dB。此外，不同于其他對(duì)中低精度(≤16 bit)TIADC 系統(tǒng)誤差的研究，該文所提方法在高精度(≥18 bit)TIADC 系統(tǒng)的通道失配誤差的校準(zhǔn)中同樣適用。

4 結(jié)語

提出一種基于松弛法對(duì)TIADC 綜合誤差的自適應(yīng)估計(jì)算法，在自適應(yīng)算法的基礎(chǔ)上，使用松弛法解決三維非線性函數(shù)的優(yōu)化問題，解決了TIADC 系統(tǒng)在應(yīng)用中的失配綜合估計(jì)問題，且該方法可以推廣到任意通道數(shù)目的TIADC 系統(tǒng)。此外，對(duì)于18 bit 以上高分辨率的TIADC 系統(tǒng)通道失配誤差的估計(jì)與校準(zhǔn)，該文所提方法具有一定的參考價(jià)值。