從考研角度淺析教學改革
——以“高等代數”為例

何 婧 周潘岳

1.湖南工商大學理學院 湖南長沙 410205;2.湖南理工學院數學學院 湖南岳陽 414006

“高等代數”[1-4]是數學與應用數學、信息與計算科學本科專業開設的一門重要專業必修基礎課,是其他數學課程的主要先修課之一。它延伸到多門后續課,如數值分析、近世代數和數學建模等,是理論性、應用性很強的一門數學基礎課。開設“高等代數”課程的目的一方面是對初等代數知識的加深與鞏固,另一方面能培養學生的計算能力、邏輯分析能力、獨立思維能力和解決實際問題能力,提高學生在數學思想、數學方法方面的修養?！案叩却鷶怠睂W習的主要內容包括多項式理論、線性代數的代數理論(行列式、線性方程組、矩陣、二次型、λ-矩陣)及線性代數的幾何理論(線性空間、線性變換、歐氏空間)。更為重要的是這門課程還是數學各專業報考研究生的必考科目(分值150分),也是全國大學生數學競賽(數學類)初賽和決賽必考內容(分值約占35%)?；诟叩却鷶颠@門課的重要性,對教學的研究和探討成為必要。我們從考研角度出發,結合課程自身的特點,通過對一道考研題的分析,提出改進教學的方式,微調課堂教學重點,從而提高課堂教學的質量。

一、一道考研題的剖析

下題選自湖南師范大學2011年和2021年高等代數碩士研究生入學考試試卷,分值15分。

例1:設n階矩陣A的元素為0或1,且滿足AAT=E+2J,其中E是n階單位矩陣,J是元素全為1的n階矩陣。

(1)證明:AJ=3J;

(2)證明:n=4和ATA=E+2J.

(1)

在上式中兩邊同時左乘矩陣J,整理后有:

(2)

由AJ=3J兩邊取轉置可得ATJT=3JT。注意到JT=J,于是有JAT=3J。而J2=nJ,將JAT=3J和J2=nJ代入(2)式,整理后有:

(3)

在上式中兩邊同時計算矩陣的跡,有:

(4)

另一方面,由已知可計算:

由n=4代入(3)式可得JA=3J。再將JA=3J代入(1)式,整理后得ATA=E+2J。

這道考研試題考查的知識點包括:矩陣乘法的定義、矩陣相等的定義、矩陣的逆、矩陣的跡等知識點,它是一道綜合題,融合了很多知識點。這道題的證明是筆者用純高等代數的知識解決的。當然它也可以利用組合的方法進行證明,但學生并不擅長,需要很強的組合功底才能解決。

通過這道題目的證明來看,此題還可以進行拓展和延伸,眾所周知,出題者喜歡用年份進行命名,比如可以改寫成如下的例題。

例2:設n階矩陣A的元素為0或1,且滿足AAT=E+2023J,其中E是n階單位矩陣,J是元素全為1的n階矩陣。

(1)證明:AJ=2024J;

(2)證明:n=2025和ATA=E+2024J。

證明:證明方法和例1一樣,這里省略了。

二、上述考研題引發的教學思考

通過這道考研試題的解答和分析,我們可以發現考研題考查的是對知識的綜合運用,一道題目不僅僅只是考查一個知識點的掌握情況,這一點跟課程的期末考試側重不相同。“高等代數”是高中生入學后最先接觸到的用公理化方法處理問題的課程,以較高的抽象性和理論化為特點,對于只有初等數學基礎的高中畢業生來說,一時很難適應這種方法,普遍感到很難很抽象且有點“晦澀難懂”的感覺。作為教學工作者應該進行反思和總結,結合學生特點和課程特點,提出一些教學改進方法。

首先,基于該課程的高度抽象性,學生學習起來困難的特點,實施教學過程的教師應準確有效地引入知識。可以從貼近生活的具體例子入手,或者是形象生動的圖形引入,抑或是可以迅速激起學生興趣的問題式引入。例如,我們在講解矩陣與矩陣乘法的時候,如果直接講定義學生接受不了,直接講規則學生只能生硬地記住并不能理解。此時我們用一道跟生活息息相關的應用題引入。設置三個工廠生產三種產品,分別用矩陣表示三個工廠中三種產品的產量、單價和單利潤,再要求同學們計算出三個工廠的總收入和總利潤矩陣[5]。通過這樣邏輯簡單又具體的應用題計算既能讓學生了解矩陣與矩陣乘法的計算法則,又能理解其計算意義。再如,在學習矩陣的逆的內容之前先帶領同學們回顧一下實數中倒數的概念和矩陣是數的推廣這一結論,然后提出問題,在矩陣的運算體系中是否也存在類似于倒數的概念呢?我們知道實數中0沒有倒數,那么是否也存在一些沒有“倒數”的矩陣呢?同時,在實數的定義下判斷互為倒數的兩個數是否通過數的乘法,但是矩陣的乘法和數的乘法有所不同,那么在定義矩陣“倒數”的時候會與數的倒數的定義有何不同之處呢?通過適當的引入,學生有一個從直觀到抽象的思維過程,一個先思考問題再尋求答案的過程,這樣不僅能使學生更好地掌握基本概念,同時也能提高學生的抽象思維能力和獨立解決問題的能力。

其次,針對部分同學反映上課能聽懂,但課后作業不知從何下手這一情況,教師應該注重改進傳授掌握知識的方法,使用單一的教學方式在當今電子科技高速發展的時代往往不能滿足教學的需要,僅僅使用PPT教學對于“高等代數”這門高度抽象化、對數學思維要求高的課程來說很容易讓學生跟不上節奏,或是僅僅表面上接受了但實際上卻還沒理解[6]。因此,在教學過程中教師應注重教學模式上的多樣化,例如教學方式上我們可以采用啟發式、問題教學法。講授之前先讓學生有所疑惑,使學生產生主動尋求問題答案的興趣,發揮學生的主觀能動性。教學模式上我們可以在適當的時候將課堂交給學生,形成互助式課堂模式,讓學生教學生,在教與學的狀態下隨時切換。一方面,讓學生站在教的角度體驗如何傳授知識,另一方面讓學生在學的角度體驗如何獲取知識。不同的身份互換更有助于學生理解內容的重點和難點。教學輔助工具上我們還可采用MATLAB、畫圖等工具,動態演示變化的過程,將原本枯燥抽象的數學知識以更具體的形象展示,有助于學生更好理解。

再次,可以適當增加習題課的次數,減少習題課規模。以往傳統的習題課模式都是講完一章內容之后針對本章內容講解習題,知識點相對集中且專一的,這一點與我們前面總結的考研題特點不同。但平時的教學中我們確實也應該將每一個小知識點練好。針對這種情況,我們建議推廣分級式習題課。具體可分為基礎知識習題課、綜合運用習題課和考研題習題課。不同的習題課講授題目的側重點不同,基礎習題課側重于鞏固基礎知識;綜合習題課可有意將聯系較緊密的習題放在一起,分析每個習題所涉及的知識點,從這些知識點之間的聯系中尋求解題思路,注重講解解題方法,歸納解題思路;考研題課可講解歷年考研真題,與學生一起分析考研題的重難點。鑒于課時的限制,我們在增加習題課次數的同時也要減少習題課規模。還可進行公開答疑,收集學生的問題后教師公開解答,使所有學生受益。

最后,穿插數學史的講解,了解數學定理背后的故事,培養學生探索求真的科學精神,幫助學生樹立正確的世界觀人生觀和價值觀。數學是一個不斷創新、不斷發展的龐大的知識體系,無數數學前輩和學者刻苦研究,形成了如今完整的數學知識體系。但是,如果只是被動地接受前人的成果,忽視數學知識概念和內容的歷史發展過程,就會導致學生成為只會計算和解題的“機器”。數學史知識中蘊含著豐富的數學思想和數學精神,學習數學史知識能夠讓人們擺脫學習數學的枯燥和困難,避免人們產生“只見樹木不見森林”的迷失感,提高學習者的學習質量。在學習數學知識的過程中,如果能夠了解對應數學知識的起源和發展歷史,學習者就能夠自然而然地接受和理解數學知識,更進一步地了解數學知識中的概念和原理[7]。例如,我們在講解行列式和矩陣的之前會介紹它們出現的原因,讓學生明白行列式和矩陣是解線性方程組的兩大工具。而中國最早開始有記載解線性方程組是出自《九章算術》之中。同學們普遍只知道《九章算術》是中國最早的數學著作,可卻不了解里面已經有記載關于解方程的內容。由于現在我們接觸到的方程大都是含有英文字母或者希臘字母的等式,導致學生普遍認為解方程最早應該是從西方引入。通過講解《九章算術》中解方程的方法,介紹古代算籌的用法,既讓學生明白了解方程的由來,知曉行列式和矩陣的作用,又讓學生了解了中國數學歷史,增強了民族自信心。

對于數學專業的學生來說,如果教師們僅僅教課本的知識,遠遠不足以應對這些考研試題,更不用說利用高等代數知識來解決現實生活中的實際問題。結合筆者多年來的教學經驗來看,應該立足教材,把知識點進行拓展和延伸,將高等代數知識從現實生活中引出來再應用到現實生活中去,以激發學生的學習興趣,讓他們知其然,更知其所以然。結合學科的特點,精心撰寫教學案例,設計教學環節,增強教學過程的趣味性,引入時下社會關心熱點問題,適當融入思政元素,從而完成立德樹人的根本任務。與此同時,也能結合線上線下的一些精品課程、翻轉課堂的教學模式等增強教學效果,促進學生的全面發展。