球面坐標系中三重積分體積微元的分析

楊懷君, 周永衛, 劉 林

(鄭州航空工業管理學院 數學學院,鄭州 450046)

0 引 言

三重積分是高等數學教學中的一個重點和難點,特別是球面坐標系下的三重積分的計算,球坐標系在地理學、天文學中有著廣泛應用.球面坐標系下計算三重積分的一個關鍵點是講解清楚該坐標系下的體積微元公式.熟練掌握三重積分特別是球面坐標系下三重積分的計算是高等數學教學中的一個重要目標[1-3],對學生空間想象能力的培養和邏輯思維能力的訓練都有很大的幫助.文獻[4-5]從Jacobi變換的角度給出球面坐標系下三重積分的體積微元公式,從而給出球面坐標系下的三重積分的計算方法,這種方式嚴謹但比較抽象.現有的高等數學類教材都是從近似的角度出發[6],將體積的增量在不計高階無窮小的情況下將這個六面體看成長方體給出球面坐標系下的體積微元公式.該方式盡管直觀但似乎又缺少一些嚴謹.結合近幾年的教學實踐,從體積增量的角度出發,給出一種既具體直觀而又不缺失嚴謹的方式來給出球面坐標系下三重積分的體積微元公式的研究成果還不多見.盡管在文獻[7]中給出了球面坐標系中三重積分的體積元素的無窮小分析,但分析過程較為抽象,不易于學生的理解,本文以一種不僅具體直觀易于學生理解而又不缺失嚴謹的理論分析的方式給出球面坐標系中三重積分的體積元素的無窮小分析,這里所謂的具體……