非可微條件下全局隱函數存在性定理

羅春林, 武淑霞, 趙江林

(四川民族學院 理工學院, 四川 康定 626001)

0 引 言

全局隱函數定理在非線性分析、積分方程、物理、化學、控制論等領域都有非常重要的應用.經典的全局隱函數存在性定理如下[1]:

引理1如果函數F∶D=[a,b]×→滿足條件:(i) 在D中處處連續;(ii) 處處有關于第二變量于y的偏導數存在常數m,M滿足則方程F(x,y)=0在區間[a,b]上必有唯一的連續函數y=f(x)作為解:F(x,f(x))≡0,?x∈[a,b].

在文獻[2]中的定理1,將引理1的條件(i)減弱為“函數F(x,y)在D中關于第一變量x處處連續”而其它條件不變的情況下,證明了結論也成立.

在引理1和文獻[2]的定理1中,都要求已知二元函數F(x,y)關于第二變量y偏導數存在.在定理學習和教學過程中,很自然提出將可微條件減弱為非可微條件時,結論是否成立.為此,通過引入強單調和Lipschitz連續兩個概念,在非可微假設條件下,即,不要求F(x,y)關于y的偏導數存在,證明了一個全局隱函數存在性定理,從而將文獻[1-2]的相關結論推廣到非可微情形.

1 主要結論

為了得到新的定理,設E?,f∶E→,引入強單調和Lipschitz連續兩個概念[3].

定義1函數f稱為是α-強單調的,如果存在一個常數α>0,滿足下面條件:

(f(x)-f(y))(x-y)≥α|x-y|2,x,y∈E.

定義2函數f稱為是β-Lipschitz連續的,如果存在一個常數β>0,滿足下面條件:

|f(x)-f(y)|≤β|x-y|,x,y∈E.

注1 容易驗證,引理1中的函數F滿足條件(ii)和(iii)時, 函數F關于第二變量y是m-強單調和M-Lipschitz連續的.事實上,由微分中值定理,對任意的(x,y1),(x,y2)∈D,存在θ∈(0,1)使得

由條件(ii)和(iii)可得

(F(x,y1)-F(x-y2))(y1-y2)≥m|y1-y2|2, |F(x,y1)-F(x-y2)|≤M|y1-y2|.

利用強單調和Lipschitz連續兩概念得到如下新的全局隱函數存在定理.

定理1設函數F:[a,b]×→滿足條件:(i) 在[a,b]關于第一變量x處處連續;(ii) 關于第二變量y是m-……