一類弧長與弦長成比例的曲線的構造

明萬元, 黃香蕉, 楊海波

(南昌航空大學 數學與信息科學學院, 南昌 330063)

0 引 言

對實際問題中具有某種特殊性質的曲線的研究,往往能促進數學的發展. 如,起源于著名油畫《蒙娜麗莎》的“懸鏈線問題”,大大促進了常微分方程的迅速發展[1];1630年意大利科學家伽利略提出的“最速降線問題”,直接導致了變分學的誕生[2-3].

在上世紀九十年代中期,劍橋大學的Hans-Henrik Stφlum教授發現那些發展漫長、路線曲折的古老河流的彎度(即河流長度與其直線距離的比值)通常約為π[4]. 本文不探討該現象的具體原因,而是考慮一個相關的數學問題:是否存在一條可求長的理想曲線,該條曲線上任一點到曲線起點的弧長與連接這兩點的弦長的比值均為π? 下面就該曲線的存在唯一性及其滿足的方程進行探討,并將該問題作進一步推廣.

1 平面直角坐標系下曲線的構造

為敘述方便,稱平面曲線L具有性質(H),如果L滿足以下兩個條件:

(i)L的方程y=y(x)∈C1(),起點為O(0,0);

下面在直角坐標系下推導曲線L的方程. 根據性質(H),函數y(x)應滿足

(1)

兩邊對x求導,得

(2)

將上式整理并改寫為

(y-xy′)2=(π2-1)(x+yy′)2.

y-xy′=a(x+yy′).

(3)

其中C1為任意常數. 由隱函數存在定理[5],(3)式在2{(0,0)}內可唯一確定隱式解y=y(x).

在方程(1)中令x=0可得初始條件y(0)=0.但無論(3)式中任意常數C1取何值,點O(0,0)均不在解集(3)中,故原積分方程(1)沒有滿足初始條件y(0)=0的特解. 也就是說,不存在嚴格具有性質(H)的曲線.

事實上,由于曲線L的方程y=y(x)∈C1(),故L上任一點處的切線都存在.若取曲線L上與起點O充分靠近的點B,則曲線弧與弦的長度之比應……