積分變換在數(shù)理方程中的應(yīng)用

杜玲瓏, 王 珂

(東華大學(xué) 理學(xué)院,上海 201620)

0 引 言

積分變換是求解數(shù)理方程解的常用工具之一.例如,在求解全空間熱傳導(dǎo)方程或波動方程的初值問題時,通常利用Fourier變換先將該類問題轉(zhuǎn)化為一階常微分方程的初值問題并求解,再利用逆Fourier變換,從而獲得原定解問題的解.對于一維半無界的熱傳導(dǎo)方程或者波動方程,一般可以利用對稱延拓法,將半無界問題轉(zhuǎn)化成全空間上的初值問題.也可以利用Laplace變換先將其轉(zhuǎn)化為常微分方程求解,再利用逆Laplace變換得到原方程的解,見文獻(xiàn)[1-4].本文綜合利用Fourier-Laplace兩種積分變換求解n維半無界的熱傳導(dǎo)方程.該方法可以應(yīng)用到其它n維半無界的數(shù)理方程,如波動方程[5].

1 半無界熱傳導(dǎo)方程

本文研究半無界空間的熱傳導(dǎo)方程.記n維空間為x=(x1,x′)∈+×n-1,其中x1∈(0,∞)為半直線.則n維半無界空間的熱傳導(dǎo)方程定義如下:

(1)

對于初邊值問題(1),利用齊次化原理(Duhamel原理)可以將解表示為

(2)

G(x1,x′,t;y1)稱為半無界問題(1)的Green函數(shù),滿足如下方程

(3)

其中δ(x′)=δ(x2)…δ(xn).

2 半無界熱傳導(dǎo)方程Green函數(shù)的表示

為求解半無界問題(1)的Green函數(shù),首先對全空間熱傳導(dǎo)方程的熱核在變換空間中進(jìn)行刻畫,給出熱核在Fourier空間上的表達(dá)式.接著對時間做Laplace變換、對部分空間做Fourier變換,在變換空間中用熱核和邊界算子分析Green函數(shù)的結(jié)構(gòu),從而在原空間中得到半無界問題的Green函數(shù)表達(dá)式.

2.1 全空間熱核K在(x1,ξ′,s)空間中的表示

全空間熱傳導(dǎo)方程定義如下:

(4)

其解可以表示為

其中K(x,t)被稱為初值問題(4)的基本解或熱核,滿足如下方程……