二維曲線型隨機變量函數的概率分布

涂振坤, 賈兆麗2,, 寧榮健

(1.合肥工業大學 數學學院,合肥 230601; 2.新疆農業大學 數理學院,烏魯木齊 830052)

0 引 言

文獻[1]中提出,如果二維隨機變量(X,Y)只在平面曲線L上取值,就稱(X,Y)為在曲線L上取值的二維曲線型隨機變量.

在文獻[2]中,給出了下面的結論.

引理1[2]設二維隨機變量(X,Y)在區域D內(上)取值,其密度函數為f(x,y),且當(x,y)∈D時,f(x,y)>0.L為D內的一條光滑曲線,其方程為h(x,y)=0,且h′x(x,y)和h′y(x,y)均連續,h′y(x,y)≠0.記u=x,v=h(x,y),y=H(u,v),則

本文將對上述結論再作進一步挖掘,探討當二維曲線型隨機變量(X,Y)∈L時,U=g(X,Y)的概率分布問題.

1 主要結論

(1)

由此得V的密度函數為

考慮到(u,v)∈Duv時,fUV(u,v)>0,故

又(X,Y)∈L等價于V=0,由條件密度函數定義有

推論1設a

(2)

在(2)中令b=u,a=-∞,可得當(X,Y)∈L時,U=g(X,Y)的分布函數為

如果在定理1及推論1中分別取u=g(x,y)=x和u=g(x,y)=y,則可得

(3)

進而有

(4)

(5)

進而有

(6)

不難發現,式(4)就是引理1中的結論,可見引理1是推論1的特例.

如果定理1中的變換u=g(x,y),v=h(x,y)不是一一對應的,則定理1的結論就不成立. 因此需要將定理1作進一步拓展.為此給出文獻[4]中的如下結論.

則(U,V)的密度函數為

則當(X,Y)∈L時,U=g(X,Y)的密度函數為

(7)

證由引理2

故

得

2 應用算例

例1設二維隨機變量(X,Y)的密度函數

L:x2+y2=1,U=X-Y.

(i) 分別求U的密度函數fU(u),P{U≥0}以及邊緣密度函數fX(x),fY(y);

(ii) 當(X,Y)∈L時,分別求U的密度函數fU|(X,Y)(u|L),P{U≥0|(X,Y)∈L}以及條件密度函數fX|(X,Y)(x|L),fY|(X,Y)(y|L).

解(i) ① 由(X,Y)的密度函數為f(x,y),知

當u<-1時,FU(u)=0;當u≥1時,FU(u)=1;

故

(ii) ① 由題意

L:x2+y2=1,0

由式(3)得

由式(5)得

本例(i)中,fU(u),P{U≥0}以及fX(x),fY(y)反映的是作為在矩形區域0

例2設二維隨機變量(X,Y)的密度函數為

其中D:-1

由于當v=0時,0

本例中,由于變換u=x2,v=y-x2在D內并非一一對應,因此需將D分為D1和D2兩個部分,再利用定理2進行求解,可見定理2使得求二維曲線型隨機變量函數的密度函數的方……