非線性橢圓型方程組邊值問題的可解性

李殷杰, 鐘金標

(安慶師范大學 數理學院,安徽 安慶 246133)

0 引 言

源于物理,力學等方面的很多問題,可通過建立橢圓型方程或方程組邊值問題來給予解決,從而這方面的研究一直是偏微分方程研究領域的熱點之一,在本文研究下列橢圓型方程組Dirichlet邊值問題

(1)

的可解性,這里Ω?n為有界光滑區域,目前,對橢圓型方程和方程組邊值問題正解的存在性,唯一性或多解性的研究非常活躍,例如文獻[1-4]是近期發表的研究文章.

文獻[1]中研究了半線性橢圓型方程組

(2)

其中Ω為n中有界光滑區域,非線性項f(x,u),g(x,v)滿足條件:

(A3) 對x∈Ω,f(x,s),g(x,s)關于s是嚴格遞增的.

利用不動點定理證明了問題(2)正解的存在性,并討論了解的唯一性,這里f,g滿足條件(A2),說明f(x,s),g(x,s)在+∞處關于s只能是次線性和線性的,對f(x,s),g(x,s)在+∞處關于s是超線性的情形,問題(1)是否存在正解未給予證明.

在文獻[2]中利用Morse理論研究了問題

(3)

非平凡解的存在性,證明了非平凡弱解的存在性定理.

在文獻[3]中討論下列橢圓型方程邊值問題

這里Ω?2是有界連通的光滑域,0

該問題中非線性項關于u是次線性的,證明了經典解的存在性,文獻[4-7]也是近期發表的相關文章.

設問題(1)中的非線性項滿足下列條件:

(H3)f(x,0,0),g(x,0,0)中至少有一個大于0.

1 主要結論

定理1若條件(H1)成立,則問題(1)只能存在非負解.

證由條件(H1)可知f(x,u,v)≥0,g(x,u,v)≥0,從而

由上調和函數極值原理[8]知u≥0,v≥0,從而問題(1)只能存在非負解.

證由定理1知,問題(1)只能存在非負解,做函數集合

顯然D為C2(Ω)×C2(Ω)中閉凸子集,取(s(x),t(x))∈D,讓u,v分別是問題

(6)

(7)

從而

做算子T如下:T∶(s,t)=(u,v).即

因為L=(-Δ)-1為……