關注學生的思維，優化高中數學教學

何俊 周佳美

［摘? 要］ 文章認為，調動學生數學學習的積極性是促進一定結構的思維活動形成與發展的過程，數學教學的積極意義體現在思維中. 高中數學教學該如何關注學生的思維，促進學生全面發展呢？文章從“積極互動，暴露思維”“借助多媒體，展示思維”“以評為主，優化思維”三個角度展開分析.

［關鍵詞］ 思維；互動；評價；多媒體；高中數學

數學教學需充分暴露學生的思維，這是新課標對數學教育教學提出的要求，也是促進學生成長的必經之路. 數學是思維的體操，數學學科的發展離不開思維的支撐，將學生的思維過程暴露在學習過程中，不僅能深化學生對知識的理解，還能從一定程度上促進個體全面發展，為培養創新人才奠定基礎.

積極互動，暴露思維

課堂互動是指師生、生生之間共同探究、提出疑問并解決疑惑的過程. 積極的互動對學生的個人發展大有裨益，尤其在解題教學中，和諧、民主的氛圍能有效增強互動效果，激趣的同時有助于提升學生的綜合能力.

積極互動應從以下幾點出發：①以生為本. 新課標引領下的數學課堂應貫徹落實“以生為本”的教學理念，只有尊重學生的教學才是科學合理的教學，師生以平等的身份融入課堂，形成一種親密的伙伴或朋友關系. ②營造氛圍. 良好的氛圍是實施平等交流與互動的基礎，換位思考能增進師生情感的交流. ③明晰互動內容. 目標明確的互動過程才能達到預期效果，互動過程中應避免其他因素的干擾. ④多種模式并用. 先進科學的互動模式，能有效提高單位時間內的學習成效.

此為一道復習題，基于學生有一定的認知基礎與解題能力，筆者要求學生先獨立思考解題方法，然后互動交流，力求將學生的解題思維完全暴露出來，以發現其優缺點，為接下來的教學活動指明方向.

師：哪位同學來說說本題的求解過程？

師：非常好，先借助線性換元、代入消元等方法，獲得關于a的一元二次方程，再結合判別式Δ≥0，順利得出問題的解. 這種解題方法叫什么？適用于什么情況？大家舉例說明.

生2：這種解題方法叫判別式法，適用于二次方程類的問題. 如已知正實數a，b滿足a2-ac+c2=3，則2a+c的最大值是多少？

師：不錯，這個例子有一定的探索價值，有興趣的同學可以在課后進行研究. 原題還有其他不同的求解思路嗎？

生3：可將式子4a2-2ab+4b2-c=0整理為（2a+b）2=-3b2+6ab+c，若2a+b的值最大，就是f（b）=-3b2+6ab+c的值最大.

師：是啊，為什么兩位同學的答案不一樣呢？究竟誰對誰錯，錯在哪兒呢？

生4：顯然是生3的解法有問題，式子（2a+b）2=-3b2+6ab+c的左右兩邊均含有a，b，它們之間存在一些關系，不能簡單認為“2a+b的值最大，就是f（b）=-3b2+6ab+c的值最大”，否則結論錯誤.

師：之前我們接觸過這樣一些情況，“對于任意x∈D，任意x∈D，均有f（x）≥g（x）恒成立”的問題可轉化成“f（x）≥g（x）”的模式，但“對于任意x∈D，均有f（x）≥g（x）恒成立”的問題無法轉化成“f（x）≥g（x）”的模式.因此生3的這種解法不成立.

生5：若把式子4a2-2ab+4b2-c=0配為含（2a+b）2的式子應該可以，但將其配為（2a+b）2+3（a-b）2-3a2=c后就不知道該怎么處理了. 直覺告訴我這種方法是合理的.

師：想想式子（2a+b）2+3（a-b）2-3a2=c中哪里比較突兀？

生5：若沒有-3a2這一項，整個式子就和諧了.

師：很好！但-3a2是客觀存在的，我們該把它放在哪里可讓式子變得更加流暢呢？

生6：如果-3a2在（a-b）2里就好了，但這么操作不僅會影響到a，b的系數，還會影響到（a-b）2的系數，或許還會影響到（2a+b）2的系數.

師：對各個系數的影響究竟有多少？有沒有辦法來處理這個問題呢？

以上教學片段呈現出了師生和諧、平等、智慧的互動過程，筆者將課堂的主動權交給學生，鼓勵學生積極主動地說出自己的看法. 在此過程中，學生心無旁騖地研究問題，不僅充分激發了探究熱情，還主動將思維呈現了出來，使得每一個學生都從中有所得、有所悟、有所獲.

配方環節的障礙，方程組的解出現異常等，都有效驅動著學生的探究行為，讓學生積極主動地去研究該如何處理這些問題. 隨著學生的思維暴露得越來越多，對其他學生而言就是一種提示與啟發. 所有學生在這種良性循環中，能不斷優化自身的解題思維，形成良好的解題技巧.

借助多媒體，展示思維

隨著時代的發展，依靠一張嘴皮與一塊黑板授課的模式已然成為過去，處于信息化時代的高中數學課堂教學應與時俱進引入先進的多媒體為自己助力. 不論是PPT與GeoGebra的盛行，還是電子白板與微專題的應用，無不凸顯出現代化教學手段的優勢. 拿微專題來說，它強調見微知著，具有更強的靈活性、時效性與針對性，教學中的應用十分廣泛，且收效頗豐.

為了充分展示學生的思維過程，教師可結合教學內容的特點與學生的學情，要求學生通過小組合作的方式來制作微專題. 制作過程中注意尋找日常訓練中的知識重點、難點與易錯點，結合這些內容精心選題、講題、匯總，最終成型. 值得注意的是，在制作過程中，小組成員間需多聽、多講、多合作研究，及時反思與總結，力爭達到高效、高質.

例2 學生對微專題“分段函數”的設計.

（1）周期性、奇偶性與單調性.

分段函數問題說難不難，說簡單也不簡單，其最佳處理方式為先分段研究，后借助圖象解決. 筆者以學生自主制作微專題的方式來講解這部分內容，一方面讓學生自主厘清知識的內在聯系，另一方面讓學生在思維的不斷優化中制作出優秀的視頻，帶給他人啟示的同時也促進自身成長.

實踐證明，學生會解題并不一定真正掌握了知識的來龍去脈，而教材或教師直接教給學生知識往往缺乏知識形成的闡釋或解題方法的提煉. 多媒體的介入，增添了學習樂趣的同時，還為學生提供了展示自我的平臺，讓學生在自主探索中梳理知識，展示思維.

以評為主，優化思維

格倫隆德提出：教學不能局限于“教與學”的過程，而應關注到“教—學—評”，課堂中良好的評測手段能優化學生的思維，促進有效學習. 想要從根本上促進學生思維的成長，離不開教師科學合理的指導，這種指導主要體現在“評”中，不論是課堂小練的評價、作業的評價還是各種測試的評價，都應遵循優化學生思維的原則進行.

在評價中，教師若僅滿足于學生解題正確與否，沒有關注學生的思維是否嚴謹、完備，則難以從真正意義上做好引導與點撥，更談不上改進教學方法、調整教學措施等.

例3 若［0，+∞）為函數f（x）的定義域，求函數f（x-1）的定義域.

這是一道課后作業題，不少學生給出的答案為［-1，+∞）. 筆者面對這個答案感到困惑，遂未著急講評，而是面詢了幾位得出這個答案的學生，了解到他們解題的基本思維過程為：根據x≥0，得x-1≥-1，因此確定［-1，+∞）為函數f（x-1）的定義域.

了解到問題的根源后，筆者便講解如下：因為［0，+∞）是f（x）的定義域，f（x-1）中的“x-1”與f（x）中的“x”的取值范圍一致，故x-1≥0，大家理解了嗎？（學生茫然）

顯然，這種講評方式沒有達到預期效果，為此筆者進行了反思：究竟該如何讓學生理解問題的本質，優化思維呢？當前學生理解問題的障礙主要有：一方面，學生沒有完全理解f（x）與f（x-1）中的x的意義；另一方面，雖然學生能理解帶有解析式的函數的定義域，但對抽象函數的定義域的理解卻稀里糊涂；再一方面，筆者的講解過于簡單，基礎比較薄弱的學生確實無法消化.

鑒于以上分析，筆者調整講評方案，從問題著手，讓學生在層次清晰的問題中逐漸拓展思維，達到深刻理解.

問題2 函數f（x）與f（x-1）的定義域之間存在怎樣的關系？

問題3 對于函數f（x-1），想要獲得f（2），x該取什么值？f（3），f（4）呢？

問題4 如果（0，1）為函數f（x）的定義域，那么f（x-1）中的x取值可否為0，-1，0.3，…，說明理由.

這幾個由淺入深的問題是基于學生的認知水平而設計的，學生的思維隨著問題的逐漸深入而發展. 當學生對原函數中的“x”與復合函數中的“x-1”的關系有了深刻理解后，再回過頭來解決原題，則會簡單很多.

從這個教學片段不難看出，點評的根本在于促進學生的理解，絕非限于會解題那么簡單. 判斷一節課的成敗并不在于教師的講解有多么精彩或教給學生的解題方法有多么豐富，而在于學生對解題思想和方法的認識是否到位，學生是否從根本上掌握了解題路徑，學生思維是否達到了最優狀態.

總之，促進學生思維的發展是我國基礎教育改革的落腳點. 正如布魯納所言：“學習更注重的是過程，而非結果.”高中數學教學雖然時間緊、任務重，但“以生為本”的理念不容小覷，只有在尊重學生思維發展的基礎上借助現代化的教學技術更新教學手段，才能從真正意義上優化學生的思維，促進學生全面發展.