解題教學要引導學生“善于優化”

許曉芳

［摘? 要］ 解題教學是中學數學課堂教學的重要任務. 面對一些習題的煩瑣解法，是訓練學生不懼繁雜的運算耐心，還是“善于優化”，尋找“好的思路”？這就需要教師在進行解題教學備課時，充分探究不同解法，比較它們的優劣，預設出“鋪墊問題”，結合學情相機追問，促進學生發現“好的解法”，同時發展師生對解題方法的鑒賞眼光.

［關鍵詞］ 解題教學；善于優化；鋪墊問題；解法鑒賞

最近筆者聽了新入職教師的一節隨堂課——新教師L上了一節一元一次方程的試卷講評課. 從一道填空題的講評中可以看出該教師在解題研究方面還有所欠缺——沒有通過恰當的講評顯現出這道好題的價值. 本文先概述教師L講評這道試題的過程，并給出筆者的教學再設計，最后圍繞解題教學提出一些思考.

從一道習題的講評記錄說起

教師L：這道題是一道復雜的解一元一次方程題，我們班做對的同學不到四分之一，請科代表來講講他是怎么求解的.

生1（科代表）：我是先把x=2代入方程，然后依次去分母、去分母、移項、移項、去分母、移項，最后解得a=-4.

教師L：好的！你能到黑板上寫出詳解給大家看一下嗎？

生1在黑板上寫的解答過程如下：

將x=2代入方程，得

解得a=-4.

教師L：下面我再請一個做得正確的同學來說說解這道題的注意事項.

生2：我覺得去分母和移項時容易出錯，比如去分母時，方程兩邊同時乘各分母的最小公倍數時，不能漏乘沒有分母的項，同時要把分子（如果是一個多項式）作為一個整體加上括號.

教師L：很好！還有些同學可能看到這樣外貌復雜的方程會在解題前產生害怕心理，看來還要多加訓練呀.

簡評 以上講評過程只是簡單地核對解題結果，并沒有解讀出這道較難考題的深層立意，可以看出教師L正在課前對這道考題的解法研究還比較膚淺，所以沒能進一步追問學生是否有不同的解法. 下面圍繞這道考題給出筆者的教學再設計.

圍繞考題的教學再設計

出示考題之后，教師先安排解出的學生交流并展示他們的解法，然后教師預設以下問題，相機追問.

問題1：科代表處理復雜方程的過程顯示了他較強的運算能力和變形能力，但老師覺得這樣做還是有點煩瑣，同學們想想還有沒有其他的解法.

預設：如果學生能看出簡捷的方法，就讓學生先交流、分享；如果學生沒有簡捷的方法，教師再給出以下啟發式問題（即問題2）.

預設：學生應該可以在以上思路的啟發下，依次得出“中括號”“小括號”的整體的值，從而得到答案. 具體解析如下.

所以，x+a=-2，結合x=2，可得a=-4.

講評之后，教師最好能再給出一道同類習題，以訓練學生整體處理試題的眼光.

同類再練：已知關于x的一元一次方程2022x-1=2x+3k的解為x=2023，則關于y的一元一次方程2022·（y-1）+1=2（y-1）-3k的解為y=_____.

預設：如果學生把x=2023代入原方程，先解出參數k的值，再回代到后一個關于y的方程，解出y，這種解法本身沒問題，但費時費力，不值得提倡. 此時教師要鼓勵學生認真觀察、對比兩個方程，并將關于y的方程變形為2022（1-y）-1=2（1-y）+3k，然后直接看出1-y=2023，從而得到y=-2022.

關于解題教學的幾點思考

1. 教學之前要探究并對比不同解法

就筆者的閱讀和參加各類教研活動所見，與新授課的教學設計（或備課）相比，解題教學的課前設計（或備課）還沒有得到教師充分而深入的研究，甚至存在教師課前只把待講評的一些習題的參考答案看一遍，想清這些參考答案的主要步驟就直接走上講臺進行習題講評的教學現狀. 筆者認為，教師在開展解題教學之前，首先要“獨立求解”講評的習題（不宜先看參考答案），貫通思路之后進行多解探究，多解探究之后進行解法比較，理清不同解法的關鍵步驟，知曉不同解法的繁、簡之別，對不同解法進行優、劣對比，等等. 在此基礎上，教師再進行必要的教學預設，以及同類題的收集、選編或拓展. 只有進行這樣的教學準備，教師才能在解題教學的過程中進退自如、居高臨下，幫助學生學深、悟透. 可以發現，上文中的教師L顯然沒有在課前對“試題”進行一題多解的探究和思考，所以在“生1（科代表）”講解了一個常規的煩瑣解法之后認為“很好”，并讓其他學生學習他的解法. 事實上，很多有經驗的教師，即使課前因為種種原因沒有對這道題的多種解法進行研究，在課堂上面對一個煩瑣的解法時，也可以（或應該）向全班學生提問：“大家都聽懂了，但你們覺得他的解法運算量是不是有點大？能不能再簡化一下求解過程？”很多情況下，特別是面向全班學生提這樣的“善于優化”的解后反思時，教師往往會得到一些優秀學生的積極回應，從而拋磚引玉出一些好的解法.

2. 預設鋪墊問題結合學情相機追問

如上所述，對于解題教學的備課，教師首先要深入研究并對比不同解法，然后針對不同解法進行鋪墊式問題的構思和預設，以便在實際教學過程中恰當使用這些鋪墊式問題來啟發學生獲得思路. 這里所說的鋪墊式問題，并不是直接告知學生思路或幾何題的輔助線，而是給學生提供一種解題念頭（可以是問題的原型或簡化后的等價問題），以便學生在這種思路的啟發下自主獲得解題思路，從而增強解題信心，學會解題.

上文聽課記錄后，我們給出“教學再設計”，其中預設了一個鋪墊式問題：“大括號”這個“整體的值”是多少？學生在這樣的啟發之下可以漸次思考：“中括號”“小括號”這兩個“整體的值”是多少？從而訓練學生“視為整體”的解題眼光或策略，發展學生的解題智慧. 在這里，值得一提的是，鋪墊問題要結合學情相機出示，而不是機械教條式地推出這些課前“精心設計”的鋪墊式問題. 比如，我們在觀摩一些教學活動時，常常會看到有些教師在剛剛出示較難題之后，學生甚至還沒有看（讀）完習題，就急不可耐地啟發學生如何解題. 比如“同學們有沒有發現這個圖形中有一個特殊的角”“同學們有沒有想到取一個中點，構造三角形的中位線”“同學們有沒有注意到這條拋物線與x軸有且只有一個公共點”等，這些啟發，看似在幫助學生，其實是在弱化學生的思維，使他們產生思路啟發的依賴，這并不利于學生獨立思考能力的發展.

3. 教師要修煉必要的解法鑒賞眼光

我們知道大學中文系有不少學者的治學方向是文學鑒賞，類比來看，推而廣之，筆者以為，數學教師也應該自覺修煉解法鑒賞的眼光. 比如對于一些習題的不同解法，教師要進行鑒別，比較優劣. 教師應自覺放棄那些煩瑣的或“殺雞用牛刀”的方法，而選擇一些“初等”解法（即不需要運用更多高級數學工具的解法，比如能用全等處理的，就不運用相似；能用方程處理的，就不運用函數），或更簡明、運算更簡便的解法. 我們也常常看到有些解題研究的自媒體（如微博、個人網站或微信公眾號）推送“一題十解”“一題二十解”之類“嘩眾取寵”的解題研究成果，仔細研究這些多解往往會發現，不少解法大同小異. 相對于這類“一題濫解”的研究，更有價值的是“多解歸一”“善于比較”. 聯系當下，新課程、新課標的培訓活動“你方唱罷我登場”，新名詞、新概念、新理念、新解讀推陳出新，筆者希望有更多的大學教授、教研專家精選一些經典習題以幫助一線教師提高解題鑒賞的眼光，畢竟解題教學在中學數學課堂教學中占有相當大的比重.