解題研究：從解法研究走向解題教學設計

秦延延

［摘? 要］ 針對中考較難題，教師往往不只局限在答案獲取上，還會關注回顧反思階段的一題多解與模式識別. 當然，更重要的是，要從解法的深度思考走向解題教學的精心預設. 包括預設出較難題的鋪墊問題、引例問題、簡化問題、等價問題、拓展問題等，再根據由易到難的方式漸次呈現，促進學生在解題學習中學會思考.

［關鍵詞］ 解題研究；自貢中考；深度思考；解題教學設計

每年中考試卷“新鮮出爐”之后，在一些自媒體公眾號、“解題群”都能看到不少教師的解題熱情，其中一題多解、巧思妙解、無字解法等“熱度很高”.然而，解題研究還需要從“一題多解”走向“多解歸一”，更需要從解法研究走向解題教學研究. 本文以一道2023年中考較難題為例，整理該題的解法思路與解題教學微設計，并進行反思.

由一道中考題的思路突破及解后反思說起

考題? （2013年四川省自貢市中考題）如圖1所示，分別經過原點O和點A（4，0）的動直線a，b的夾角∠OBA=30°，M是OB的中點，連接AM，則sin∠OAM的最大值是（? ? ）

思路突破：觀察△AOB，由已知條件可知OA為定長4，它所對的∠OBA是定角30°，于是可聯想到“定弦定角”的解題經驗，所以構造如圖2所示的圓P（以OA為一邊在第一象限取點P，構造等邊三角形AOP，再以點P為圓心，PO的長為半徑畫出圓P，點B的軌跡是優弧OmA，不包括端點O，A）. 接著思考OB中點M的軌跡. 如圖2所示，連接PM，在大圓中由垂徑定理得PM⊥OB，由此有∠PMO=90°，結合OP是定長，可知點M的軌跡是以OP為直徑的圓的一段圓弧.接下來我們適當刪除圖2中的一些線條，得到如圖3所示的“簡化”圖形，進一步研究∠OAM何時取得最大值.

在圖3中，點A是☉Q外一點，過點A作☉Q的切線AM（切點M在第一象限），此時∠OAM最大.

解后回顧：從上面的思路突破來看，以下兩個“關鍵問題”值得重視，讓我們“提取”分析如下.

關鍵問題1：如圖5所示，在△AOB中，AO=4，∠B=30°，點M是邊OB的中點，分析點M的軌跡.

關鍵問題2：如圖6所示，OP是☉Q的直徑，點M在☉Q上，且P，M都在OA的同側，當AM與☉Q相切時，求sin∠OAM的值.

另解分析：對于“關鍵問題2”，還可以借助高中“三角公式”直接計算. 如圖7所示，連接AQ，可分別求出∠OAQ，∠MAQ的正切值，然后運用兩角和的正切公式，求出tan∠OAM的

教學環節1：基礎熱身

問題1：在△ABC中，AB=4，∠ACB=30°.

（1）當AC=BC時，求△ABC的面積.

（2）小明發現（1）中的情形，使得△ABC的面積取得了最大值. 你同意小明的發現嗎？請說明理由.

教學預設：第（1）問是“特例引路”，讓學生感受到頂點C在AB邊的垂直平分線上的特殊位置.而要解釋第（2）問，則需要作出點C的軌跡（在一段優弧上）. 第（3）問根據對稱性質，如圖8所示，有兩個符合題意的點C，且都為等腰三角形. 教學時教師要請注意訓練學生思維的嚴謹性.

教學環節2：拾級而上

問題2：如圖9所示，在△ABC中，AB=4，∠ACB=30°，BD是△ABC的中線.

（1）分析中線BD的最大值與最小值；

（2）當∠ABD最大時，求中線BD的長.

教學預設：第（1）問的關鍵是

教學環節3：挑戰考題

問題3：見上文“2013年四川省自貢市中考題”，解題時可參考上文的思路突破及解后反思，限于篇幅，這里略去.

教學組織：呈現考題后，教師要先引導學生獨立思考，將問題的本質看清，再分離圖形、簡化問題，看出需要突破哪些關鍵步驟，與前面“教學環節”中已經研究的哪些問題等價，這樣就可以快速“通過”較難步驟.對于思路較快的學生，可優先讓他們講解思路，再安排其他學生復述思路，讓更多的學生都想通解題的關鍵步驟. 如果課堂時間不夠，解題過程或一些細節可以留作課后進一步整理成解題筆記，而將課堂時間盡可能多地用在思路分析、關鍵步驟的突破上.

寫在后面

筆者以為，“完整”的解題研究包括解題方法或思路的深度探究，含一題多解、多解歸一、結構揭示、復雜問題或圖形的分離與簡化等；解題教學各個環節的精心設計，包括鋪墊問題的預設、變式問題漸次呈現、較難題的思路啟示等預設.而以上這些，都離不開教師持續修煉與精進命題改編的專業基本功.