基于戴爾金字塔理論下的高職數學實證教學
——以圓錐曲線教學為例

楊浩杰

無錫旅游商貿高等職業技術學校，江蘇 無錫 214000

一、高職數學教學的現狀

高職學生的自主學習積極性確實存在著一定的問題，特別是在數學學習中。由于學生通過刻苦的中考復習、中考考試，進入高職之后，發現高職的學習壓力不如義務制教育的壓力那么大，加上學習能力的參差不齊，導致學生的學習目標不明確，學習主動性欠缺，致使學習效果一般。特別是當學生進入三年級學習，由于學測已結束，學習的積極性不高。加上三年級的學習內容為圓錐曲線、排列組合、二項式定理、極限、導數和微分等內容，學生的學習熱情和狀態不佳。鑒于此，數學教師們也采取了一系列的措施，例如制作精美的PPT、課堂融入與課程相關的微視頻、搜集相關的數學史人物傳記進行賞析，學生的接受程度確實有所提高，但要達到學生樂學善思的境界，尚有差距。學生對于數學的學習興趣和數學應用的意識，有待進一步提高。

二、戴爾金字塔理論基礎

戴爾金字塔用數字形式形象顯示了：采用不同的學習方式，學習者在兩周以后還能記住內容（平均學習保持率）的多少。戴爾金字塔理論是由美國學者愛德加·戴爾1946 年首先發現并提出的理論［1］。據調查研究發現，第一種“聽講”，兩周以后學習的內容只能留下5%。第二種通過“閱讀”方式學到的內容，可以保留10%。第三種用“聲音、圖片”的方式學習，可以達到20%。第四種，是“示范”，采用這種學習方式，可以記住30%。第五種，“小組討論”，可以記住50%的內容。第六種，“做中學”或“實際演練”，可以達到75%。最后一種在金字塔基座位置的學習方式，是“教別人”或者“馬上應用”，可以記住90%的學習內容。愛德加·戴爾提出，學習效果在30%以下的幾種傳統方式，都是個人學習或被動學習；而學習效果在50%以上的，都是團隊學習、主動學習和參與式學習［2］。

戴爾的金字塔理論的核心就在于學生積極參與到教學中來，在團隊合作、小組式討論中掌握新知，在參與式學習、主動學習中提升數學素養［3］。更簡單的歸納就是將“做中學”貫穿始終。因此，在高職數學教學過程中，盡量讓學生參與團隊學習、主動學習和參與式學習，這是高職數學教學可以進一步改進的地方。學生的聽講、閱讀、示范等活動可以利用課前時間去完成，對知識點有所了解。在此過程完成之后，學生就會帶著問題進入課堂。教師精心設計課堂，選擇合適的教學方法，選取適合學生的學習例題，學生就能更快融入課堂之中。學生在學習過程中，通過主動學習，參與教學的學習環節，不斷試錯容錯，對于知識的掌握程度會不斷提高。讓學生明確的是教師傳授的知識點確實有利于自身的發展，但自己通過參與其中而獲得的知識點更能牢固掌握，更容易吸收和應用。戴爾的金字塔理論正是這一道理的明確闡述，就如南宋詩人陸游所言：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”自己切身實踐獲得的新知，是很難遺忘的，如果能馬上應用，或者作為“小老師”教授給其他同學，那么知識的掌握程度就更好了。這就是我們在高職數學教學中利用戴爾金字塔理論需要達到的目標。

三、基于戴爾的金字塔理論下的高職數學教學

戴爾的金字塔理論的核心就是“做中學”，因此針對高職學生的現狀，我們需要進一步改善教學設計，增加階段性知識梳理，更好地讓學生進行個性化學習。不管是課前、課中還是課后，都要體現學生的“做”；在“做”的過程中，逐步提高學生的學習興趣，讓學生能樂在其中的“學”；在融入其中“學”之后，還要讓學生“學”后有所得，再一次提升學習興趣，為下階段的“做”積累知識。

（一）課前教學過程

在教學的課前，教師布置適合學生教學目標教學任務，以便學生開展課前的“做”。首先，讓學生通過閱讀來明確本堂課（本階段）所要學習的內容，明確本堂課（本階段）需要達成的目標。其次，布置適合學生能力的課前預習，讓學生在課前目標明確的基礎上，先“做”起來。學生在具體“做”的過程中，可以通過網絡去查詢所需信息，利用班級云班課或者雨課堂將課前“做”完的預習上傳至班級中，教師就可以提前知道學生預習的狀況了。據此，教師可以進一步調整上課的側重點并科學設計教學環節。

以拋物線的定義為例，學生在課前通過閱讀書本和老師布置的課前預習任務，要先明確本課堂的學習內容是拋物線的圖像、定義、方程、性質等，學習目標是有效掌握拋物線的圖像、定義、方程、性質等知識點，并能進行簡單的應用，而困難之處就是讓學生更好地接收這些知識，這就需要教師進一步完善教學設計。

在拋物線的定義課前準備階段，布置的預習任務是讓學生從生活中、從運動中、從專業作業中去找拋物線的影子，此任務可以增加學生學習拋物線的直觀性。學生在隨處可見的活動和運動中，接觸到的都是與自身息息相關的信息，學生的學習興趣會濃厚一點。類比之前的圓錐曲線（橢圓、雙曲線）的定義來預習拋物線的定義，來尋找三種圓錐曲線的差異，對拋物線的定義有個初步認識，在此過程中，學生先要去回顧一下之前所學的圓錐曲線（橢圓、雙曲線）的定義，這些是已掌握的知識，在溫習的過程中，能更好地理解圓錐曲線的共性（雙焦點、兩方程、矩形限制框）；而在預習了拋物線的定義之后，圓錐曲線的個性化差異就顯現出來了（單焦點，準線的重要程度，單焦點導致的方程個數增加）。課前通過這種課前任務的“做”，學生會有更好的直觀認識（圖像），也會帶著一些問題進入課程的學習，學習興趣自然而然地增加一點。

（二）課中教學過程

在課前學生已經明確本堂課（本階段）所要學習的內容，明確了需要達成的目標。課中則通過設計教學環節，讓學生進一步掌握本堂課的內容，達成課堂的教學目標。而在此過程中，教學環節中創造更多的機會讓學生在“實踐”中去獲得新知，在操作中去驗證新知，在整理中掌握新知。在課堂教學中，以學生為主體，設置各項活動，學生在積極參與的過程中探索、總結、歸納并熟記本課堂的內容。

以拋物線的圖像初識為例，我們采用了“折紙實驗”來獲得完成。首先，學生觀看折紙視頻，學生有個初步了解。其次，教師引導學生對折紙步驟總結，幫助學生更好理解。由學生分組討論，完成折紙步驟的總結。1.長方形的折紙一邊找出一個中點，做好標記。2.將該中點與對邊任意一點重合，折出折痕，并用筆畫出折痕。3.多次反復第二步驟的過程，折出多條折痕。4.利用光滑曲線將所有折痕順次連接，形成一條曲線。總結上述步驟之后，學生自行折紙，通過手邊的紙，按照步驟一次次折出折痕，并最終畫出了這么一條曲線。由于學生是通過自己的努力而做出了一條曲線，學生的心情是非常愉悅的，學習興趣自然而然又有所提高。

不過在折紙過程中，還是會有一些小插曲。由于學生選擇的紙張有大有小，有長有短，導致最終學生得到的拋物線的圖像的開口有大有小，各組之間的學生在和其他組同學的比較過程中，很容易就會發現這個問題。有了問題，學生學習的熱情就不會低，學生就會想著怎么去解決這個問題。此時采用GGB 來進一步驗證此過程，學生的學習效果就更佳了。先利用平面軟件將學生所畫的圖形進行摳圖，比較其開口大小；而后利用GGB 軟件畫出所畫拋物線，同時畫出焦點和準線；學生們最終都可以得到開口的大小，是和焦點離坐標原點距離大小相關的結論。由學生自己來解決這個問題之后，學生的探索興趣便會大增。

得到折紙的圖像之后，立馬又有新問題了，那就是如何證明這條光滑曲線就是拋物線呢？此時教學設計是學生自行整理之前的圓錐曲線（橢圓、拋物線）的折紙證明，利用之前的圓錐曲線（橢圓、拋物線）的折紙證明，來證明剛才所畫出的光滑曲線就是拋物線。學生總結的證明過程為，利用折紙的對稱性可以得到對稱圖形，并得到相應的邊角相等，從而得到三角形的全等，最終得到所需的兩邊相等。回顧拋物線的定義：“到定點和到定直線距離相等的點的軌跡”，就可以證明多條折線的光滑連線就是拋物線。

在整個教學過程中，通過學生可以操作的折紙實踐，讓學生在做中發現問題，并想辦法解決問題。從學生的折紙實踐，到GGB 的操作驗證，到整理折紙證明的過程中，學生充分享受到“做中學”的樂趣，學生的學習興趣得到了一次次提高。

（三）課后教學過程

課前預習數學知識，課中實踐數學知識，課后則一定需要鞏固，強化數學知識。美國數學家保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos）說：“學習數學的唯一方法是做數學題。”中國現代數學之父華羅庚也說：“要盡可能多做些習題。”而高職的學生除了課后的鞏固習題之外，要將所學知識和專業相結合。因此，除了正常的課后習題的及時完成之外，課堂知識的產出也是我們所追求的目標。在設計課后的作業布置這一環節中，可以結合專業知識，布置相關專業的課后產出，學生在制“做”課后專業產出的過程中，專業素養提高的同時也提高了數學綜合素養。

在橢圓圖形和定義的教學之后，與專業課的美術設計教師進行溝通，美術設計老師先推薦《沒靈感？試試橢圓形元素設計風！》這篇文章，要求學生仔細閱讀，然后要求學生融入橢圓元素結合工藝美術設計專業，并結合冬奧這一體育賽事，為冬奧會的運動項目設計圖標，最后以小組為團隊合作完成。學生的創意多樣，將滑雪、冰壺、跳臺等冬奧運動均融入橢圓圖形中。在橢圓性質的教學之后，學生課堂上通過視頻展示《建筑施工中橢圓形放線法》，已經探究其中原理；學生已在課堂上了解了古老傳說故事《杰尼西亞的耳朵》，引出橢圓的聲學、光學性質，并能對橢圓性質進行綜合運用，因此學生課后的創意作業是繼續設計與橢圓有關的標志、圖案，同時兼顧橢圓光學、聲學性質設計相應的小作品，讓學生更好地將橢圓性質和專業融合，進一步提高學生的綜合素養。

在雙曲線的圖像和定義的教學之后，以專業課內容為基礎布置學生去設計雙曲線字體和雙曲線繪畫一幅，從而引導學生從藝術的角度欣賞曲線美，提升學生綜合水平和創造性思維。在雙曲線的性質教學之后，讓學生以小組為單位進行合作，結合《立體構成》專業要求，嘗試用各種方式搭建廣州塔造型（比如用小棒或吸管），從結構學方面提升學生綜合水平和創造性思維，同時對雙曲線的基本性質也是一次很好的掌握。

在所有圓錐曲線知識點授課完成之后，為了展現課后的產出，在教學設計中，還特意增加了一節圓錐曲線作品賞析課，同學們將每個知識點結束之后的課堂產出的作品匯聚一堂，進行展示和匯報。在整個展示和匯報的過程中，同學們將重新回顧“做中學”的樂趣，不僅很好地回顧了相關專業課的知識，還能更好地掌握圓錐曲線相關知識點，做到真正的數學與專業相融合，數學為專業課程服務，專業課進一步提升數學知識的掌握。

四、總結

戴爾金字塔理論強調“做中學”。讓學生在自己的不同階段都參與到數學的教學和學習之中，樂此不疲地“做”著各項活動和任務，在各種“做”中，體會數學與專業的融合，體會數學與生活的密切相關，體會著自身學習能力的提高。該理論給我們指明了學生學習的最優解，而教師需要合理設置教學環節，讓學生在課前、課中、課后都“做”起來，不管是課前預習做起來，還是課中做實驗，甚至是課后制“做”課后作品，目標就是在“做”的過程中更好地掌握知識，更好地“學”。